Acemoglu ch08 — RICH 프리뷰: 신고전 성장 모형

§8.1환경 — 선호·기술·인구
Preferences, Technology, Demographics9 eq

(8.1) ★ 신고전 가계 평생 효용 Neoclassical Household Lifetime Utility DRAFT vc-passed

$$U_0 = \int_0^{\infty} e^{-\rho t}\, u(c(t))\, dt$$

Intuition

★ 신고전 성장 모형의 출발 — 가계의 평생 할인된 효용. ρ 는 시간선호율 (impatience). u(c) 는 instantaneous utility. Ramsey 1928 의 정전 표현.

3세 비유

한 가족의 "일생 행복의 합". 미래 행복은 ρ 만큼 깎아서 더한다.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving (Econ J)
David Cass (1965)	Optimum Growth in an Aggregative Model
Tjalling Koopmans (1965)	On the Concept of Optimal Economic Growth

Applications

Cass-Koopmans-Ramsey 모형
DICE climate model utility
Lucas asset pricing

Civilizational Relevance

★ 거시경제학에서 가장 자주 사용되는 utility 형식. 한국 macro 정책 평가 standard.

(8.2) 인구 지수 성장 Population Exponential Growth DRAFT vc-passed

$$L(t) = \exp(n t)$$

Intuition

인구가 일정 비율 $n$ 으로 증가. 표준 거시 가정.

3세 비유

인구가 매년 n% 늘어나는 식.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

인구가 일정 비율 $n$ 으로 증가. 표준 거시 가정.

(8.3) ★ 1인당 효용 — 효과적 할인율 Per-capita Utility — Effective Discount DRAFT vc-passed

$$\int_0^{\infty} \exp(-(\rho - n) t)\, u(c(t))\, dt$$

Intuition

★ 인구 인당 표준화 후 효과적 할인율 $\rho - n$. 안정성 조건: $\rho > n$.

3세 비유

1인당으로 나눈 평생 효용.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 인구 인당 표준화 후 효과적 할인율 $\rho - n$. 안정성 조건: $\rho > n$.

(8.4) ★ 가계 budget constraint Household Budget Constraint DRAFT vc-passed

$$\dot a(t) = r(t) a(t) + w(t) - c(t) - n a(t)$$

Intuition

가계 자산 a(t) 의 시간 변화 = 이자수입 + 임금 - 소비 - 인구희석. 이자율 r, 임금 w, 인구성장 n.

3세 비유

가족 통장 잔액이 시간에 따라 어떻게 변하는지 — 받는 이자 + 일해서 받는 돈 - 쓰는 돈.

Genealogy

인물	저작	note
Cass-Koopmans (1965)	신고전 budget

Applications

가계 동학
Bellman value function 입력

Civilizational Relevance

한 가족의 미시적 자산 동학을 macro 로 aggregate.

(8.5) ★ ★ 자본 한계 산출 — 이자율 Marginal Product of Capital — Interest Rate DRAFT vc-passed

$$R(t) = F_K(K, L) = f'(k(t))$$

Intuition

★ 자본 시장 균형: 한계 산출 = 이자율(+감가상각). f'(k) 가 핵심 신호.

3세 비유

자본 한 단위 더 → f'(k)만큼 산출 → 이자율.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 자본 시장 균형: 한계 산출 = 이자율(+감가상각). f'(k) 가 핵심 신호.

(8.6) ★ ★ 노동 한계 산출 — 임금 Marginal Product of Labor — Wage DRAFT vc-passed

$$w(t) = F_L(K, L) = f(k(t)) - k(t)\, f'(k(t))$$

Intuition

★ 노동 시장 균형: 임금 = 잔여 산출. Cobb-Douglas 에서 임금 = (1-α) f(k).

3세 비유

노동 한 단위 더 → 임금만큼 산출.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 노동 시장 균형: 임금 = 잔여 산출. Cobb-Douglas 에서 임금 = (1-α) f(k).

(8.7) 총 자산 진화 Aggregate Asset Evolution DRAFT vc-passed

$$\dot A(t) = r(t)\, A(t) + w(t) L(t) - c(t) L(t)$$

Intuition

총량 형태 자산 진화. (8.4) 의 가구합.

3세 비유

전체 가구 자산 합의 변화.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

총량 형태 자산 진화. (8.4) 의 가구합.

(8.8) 1인당 자산 진화 — 인구 희석 Per-capita Asset Evolution DRAFT vc-passed

$$\dot a(t) = (r(t) - n)\, a(t) + w(t) - c(t)$$

Intuition

(8.7) ÷ L(t) → 효과적 이자율 r-n.

3세 비유

1인당 자산 변화 = 효과적 이자 - 소비 + 임금.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.7) ÷ L(t) → 효과적 이자율 r-n.

(8.9) Equilibrium — 자산 = 자본 Equilibrium — Asset = Capital DRAFT vc-passed

$$a(t) = k(t)$$

Intuition

시장 균형 결과: 가구 자산 (저축) = 경제 자본. 시장 청산.

3세 비유

사람들 저축 합 = 나라 자본.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

시장 균형 결과: 가구 자산 (저축) = 경제 자본. 시장 청산.

§8.2균형의 특성화
Characterization of Equilibrium23 eq

(8.10) ★ Hamiltonian (Cass-Koopmans) Cass-Koopmans Hamiltonian DRAFT vc-passed

$$H = e^{-\rho t} u(c) + \mu \bigl[r a + w - c - n a\bigr]$$

Intuition

★★★ ch7 의 Hamiltonian framework 의 직접 적용. μ 는 costate (가계 자산의 shadow price). Pontryagin (1956) 의 mechanics origin.

3세 비유

현재 행복 + (자산 가치 변화 × 자산 가치 추정) — 이를 최대화.

Genealogy

인물	저작	note
William Rowan Hamilton (1833)	On a General Method in Dynamics
Lev Pontryagin (1956)	Optimal Processes
Cass-Koopmans (1965)	신고전 Hamiltonian 정착

Applications

Lucas asset pricing
DSGE 모형 출발
한국 거시 simulation

Civilizational Relevance

★★ Mirowski case — Hamilton 1833 → Cass-Koopmans 1965 → Acemoglu 2009 형식 chain.

(8.11) ★ Natural debt limit — 평생 임금 현재가치 Natural Debt Limit DRAFT vc-passed

$$a(t) \geq -\int_t^{\infty} w(s)\, \exp\!\Bigl(-\int_t^s (r(z)-n)\, dz\Bigr)\, ds$$

Intuition

★ 가구가 빌릴 수 있는 한계 = 미래 임금 흐름의 현재가치. 자연 채무 한계.

3세 비유

'평생 받을 임금 합'까지 빌릴 수 있다.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 가구가 빌릴 수 있는 한계 = 미래 임금 흐름의 현재가치. 자연 채무 한계.

(8.12) Natural debt limit — 무한 한계 Natural Debt — Infinite Limit DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} a(t) \geq \hat a \equiv -\lim_{t \to \infty} \int_t^{\infty} w(s)\, e^{-\int (r-n)} ds$$

Intuition

(8.11) 의 무한 미래 형태.

3세 비유

(8.11) 의 극한.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.11) 의 무한 미래 형태.

(8.13) ★ Euler equation (소비 동학) Consumption Euler Equation DRAFT vc-passed

$$\frac{\dot c(t)}{c(t)} = \frac{1}{\theta}\bigl[r(t) - \rho\bigr]$$

Intuition

★★ macro 의 정전. 소비 성장률 = (1/θ) × (이자율 - 시간선호율). θ = relative risk aversion. r > ρ 면 소비 증가 (저축).

3세 비유

소비가 빨리 늘려면: 이자가 시간선호율보다 클 때. 위험 회피도 θ 가 클수록 변동 작음.

Genealogy

인물	저작	note
Leonhard Euler (1744)	Variational principle origin
Frank Ramsey (1928)	Saving rate derivation
Lucas-Stokey (1989)	RBC adoption

Applications

RBC 모형 calibration
Lucas asset pricing
한국 가계 소비 데이터 fit

Civilizational Relevance

★★ macro 의 가장 자주 사용되는 단일 식. 모든 DSGE 모형 입력.

(8.14) ★ No-Ponzi 조건 No-Ponzi Game Condition DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} a(t)\, \exp\!\Bigl(-\int_0^t (r(s)-n)\, ds\Bigr) \geq 0$$

Intuition

★ 무한 부채 회피 조건 — 가구가 영원히 빚 굴리지 못함.

3세 비유

'영원히 빚 끌고 갈 수 없다' 조건.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 무한 부채 회피 조건 — 가구가 영원히 빚 굴리지 못함.

(8.15) Lifetime budget — 적분 Lifetime Budget — Integrated DRAFT vc-passed

$$\int_0^T c(t) L(t)\, e^{-\int_0^t r\, ds}\, dt + a(0)\, e^{...} = \int_0^T w L\, e^{...}\, dt$$

Intuition

평생 예산 제약 — Arrow-Debreu 형식.

3세 비유

평생 소비 합 = 평생 임금 합 + 초기 자산.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

평생 예산 제약 — Arrow-Debreu 형식.

(8.16) ★ ★ Strong Transversality ★ Strong Transversality DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} a(t)\, e^{-\int_0^t (r-n) ds} = 0$$

Intuition

★ NGM 강 transversality. (7.69) 의 NGM 적용.

3세 비유

무한 미래 자산 가치 = 0.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ NGM 강 transversality. (7.69) 의 NGM 적용.

(8.17) ★ ★ FOC — 통제 (소비) FOC — Control (Consumption) DRAFT vc-passed

$$\hat H_c = u'(c(t)) - \mu(t) = 0$$

Intuition

★ Pontryagin (7.65) NGM 적용. 한계 효용 = costate.

3세 비유

한계 효용 = 그림자 가격.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ Pontryagin (7.65) NGM 적용. 한계 효용 = costate.

(8.18) ★ ★ Costate 진화 — NGM Costate Evolution — NGM DRAFT vc-passed

$$\hat H_a = \mu(r(t) - n) = -\dot\mu(t) + (\rho - n)\mu(t)$$

Intuition

★ NGM costate 진화. (7.66) 적용.

3세 비유

그림자 가격 진화.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	NGM 의 first formulation.
David Cass · Tjalling Koopmans (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Solow + Ramsey 통합 = NGM.
Robert Solow (1956)	A Contribution to the Theory of Economic Growth	NGM 자본 축적 식 (8.39) 의 기원.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ NGM costate 진화. (7.66) 적용.

(8.19) Transversality — costate 형태 Transversality — Costate Form DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} e^{-(\rho-n)t}\, \mu(t)\, a(t) = 0$$

Intuition

(7.69) 의 NGM 적용 1차 형태.

3세 비유

할인된 그림자 가격×자산 → 0.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(7.69) 의 NGM 적용 1차 형태.

(8.21) FOC — μ = u'(c) FOC — μ Equals u'(c) DRAFT vc-passed

$$u'(c(t)) = \mu(t)$$

Intuition

(8.17) 재기술. costate = 한계 효용.

3세 비유

(8.17) 동일.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.17) 재기술. costate = 한계 효용.

(8.22) ★ ★ Consumption Euler — 일반 효용 Consumption Euler — General Utility DRAFT vc-passed

$$\frac{\dot c(t)}{c(t)} = \frac{1}{\varepsilon_u(c(t))}\, (r(t) - \rho)$$

Intuition

★ (8.13) 의 일반 효용 형태. $\varepsilon_u(c) = -u''(c)c/u'(c)$ 위험회피계수.

3세 비유

소비 Euler — 위험회피 계수 일반화.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	Euler 방정식의 거시 first formulation.
Robert Lucas (1976)	Econometric Policy Evaluation	micro-founded macro 의 Euler 표준화.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ (8.13) 의 일반 효용 형태. $\varepsilon_u(c) = -u''(c)c/u'(c)$ 위험회피계수.

(8.23) ★ Coefficient of Relative Risk Aversion (CRRA) Coefficient of Relative Risk Aversion DRAFT vc-passed

$$\varepsilon_u(c) \equiv -\frac{u''(c)\, c}{u'(c)}$$

Intuition

★ 상대적 위험회피 계수. CRRA = 1/IES (대체탄력성 역수). 거시 표준 모수.

3세 비유

위험회피 정도 = 효용 곡률.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 상대적 위험회피 계수. CRRA = 1/IES (대체탄력성 역수). 거시 표준 모수.

(8.24) Costate 명시 풀이 Costate Explicit Solution DRAFT vc-passed

$$\mu(t) = \mu(0)\, e^{-\int_0^t (r(s) - \rho) ds} = u'(c(0))\, e^{-\int (r-\rho)}$$

Intuition

Costate ODE의 해.

3세 비유

그림자 가격의 명시 형식.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

Costate ODE의 해.

(8.25) Transversality 조건 풀이형 Transversality Solved Form DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} e^{-(\rho-n)t}\, a(t)\, u'(c(0))\, e^{-\int (r-\rho)} = 0$$

Intuition

(8.20) 의 풀이.

3세 비유

(8.20) 풀이.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.20) 의 풀이.

(8.26) Transversality — k 형태 Transversality — Capital Form DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} k(t)\, e^{-\int_0^t (r(s) - n)\, ds} = 0$$

Intuition

(8.16) 자본 형태.

3세 비유

(8.16) 자본판.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.16) 자본 형태.

(8.27) ★ ★ 시장 청산 — 이자율 = 한계 산출 - 감가 Market Clearing — r = f' - δ DRAFT vc-passed

$$r(t) = f'(k(t)) - \delta$$

Intuition

★ 자본 시장 청산. 순 이자율 = 한계 산출 - 감가상각.

3세 비유

이자율 = 자본 수익 - 닳는 정도.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 자본 시장 청산. 순 이자율 = 한계 산출 - 감가상각.

(8.28) ★ ★ NGM 동적 시스템 — k 동학 NGM Dynamic System — k Dynamics DRAFT vc-passed

$$\frac{\dot c}{c} = \frac{1}{\varepsilon_u}(f'(k) - \delta - \rho)$$

Intuition

★ ★ (8.13) + (8.27) 결합 = NGM 의 c 동학. (k, c) phase diagram 의 c-축.

3세 비유

소비 동학 = (자본 수익률 - 시간선호) / 위험회피.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	NGM 의 first formulation.
David Cass · Tjalling Koopmans (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Solow + Ramsey 통합 = NGM.
Robert Solow (1956)	A Contribution to the Theory of Economic Growth	NGM 자본 축적 식 (8.39) 의 기원.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ ★ (8.13) + (8.27) 결합 = NGM 의 c 동학. (k, c) phase diagram 의 c-축.

(8.29) Transversality — k 형태 (averaged) Transversality — Averaged k Form DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} k(t)\, e^{-\int (f' - \delta - n)} = 0$$

Intuition

(8.26) 풀이형.

3세 비유

(8.26) 풀이.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.26) 풀이형.

(8.31) 평균 이자율 정의 Average Interest Rate Definition DRAFT vc-passed

$$\bar r(t) = \frac{1}{t}\int_0^t r(s)\, ds$$

Intuition

transversality 분석용 평균 이자율.

3세 비유

기간 평균 이자율.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

transversality 분석용 평균 이자율.

(8.32) Transversality — 평균 이자율 형식 Transversality — Average Rate Form DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} e^{-(\bar r(t) - n) t}\, a(t) = 0$$

Intuition

(8.16) 평균 이자율로 표기.

3세 비유

(8.16) 평균 형태.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.16) 평균 이자율로 표기.

(8.33) Consumption — 명시 풀이 Consumption — Explicit Solution DRAFT vc-passed

$$c(t) = c(0)\, e^{\int_0^t \frac{r(s) - \rho}{\varepsilon_u(c(s))} ds}$$

Intuition

Euler ODE 적분 해.

3세 비유

소비의 명시 시간 경로.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

Euler ODE 적분 해.

(8.34) FOC + costate 결합 FOC + Costate Combined DRAFT vc-passed

$$\hat H_c(k, c, \mu) = 0 = u'(c(t)) - \mu(t)$$

Intuition

(8.17), (8.21) 재기술.

3세 비유

(8.17) 동일.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.17), (8.21) 재기술.

§8.3최적 성장 — Transversality 조건
Optimal Growth — Transversality Condition1 eq

(8.20) ★ Transversality 조건 (TVC) Transversality Condition DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} e^{-\rho t} \mu(t) a(t) = 0$$

Intuition

★ 무한지평 최적화의 boundary 조건. costate × asset → 0 at infinity. Pontryagin 의 변분법 boundary 조건.

3세 비유

영원의 끝에서 "남은 자산의 가치"가 0 — 즉 모두 소비.

Genealogy

인물	저작	note
Pontryagin et al. (1956)	TVC for infinite horizon

Applications

Cass-Koopmans steady state
rational bubbles 부재 증명

Civilizational Relevance

무한지평 거시 모형의 standard 가정.

§8.4정상상태 균형
Steady-State Equilibrium5 eq

(8.30) ★ 신고전 modified golden rule Modified Golden Rule DRAFT vc-passed

$$f'(k^*) = \rho + \delta + \theta g$$

Intuition

★ Cass-Koopmans steady state. 자본의 한계생산성 = 시간선호율 + 감가상각 + 위험회피×성장률. Phelps Golden Rule (Acemoglu (2.23)) 의 modified 버전.

3세 비유

균형 자본 수준에서 자본의 한계생산성 = 4가지 조건의 합.

Genealogy

인물	저작	note
Edmund Phelps (1961)	Golden Rule
Cass-Koopmans (1965)	Modified version with θ

Applications

DSGE calibration
한국 자본수익률 데이터 fit

Civilizational Relevance

신고전 거시의 calibration anchor.

(8.35) Steady-State 정의 Steady-State Definition DRAFT vc-passed

$$\dot c = 0, \quad \dot k = 0$$

Intuition

정상상태 정의 — c, k 둘 다 시간 불변.

3세 비유

정상상태 = 변화 0.

Genealogy

인물	저작	note
Edmund Phelps (1961)	The Golden Rule of Accumulation	Golden Rule 의 first formulation.
David Cass (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Modified Golden Rule (할인 + 위험회피 도입).

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

정상상태 정의 — c, k 둘 다 시간 불변.

(8.36) ★ ★ Steady-state 이자율 Steady-State Interest Rate DRAFT vc-passed

$$r^* = f'(k^*) - \delta > n$$

Intuition

★ 정상상태 이자율 - 인구성장 > 0 → 안정성.

3세 비유

정상상태 이자율이 인구성장보다 크다.

Genealogy

인물	저작	note
Edmund Phelps (1961)	The Golden Rule of Accumulation	Golden Rule 의 first formulation.
David Cass (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Modified Golden Rule (할인 + 위험회피 도입).

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 정상상태 이자율 - 인구성장 > 0 → 안정성.

(8.37) ★ ★ Steady-state 소비 Steady-State Consumption DRAFT vc-passed

$$c^* = f(k^*) - (n + \delta)\, k^*$$

Intuition

★ 정상상태 소비 = 산출 - 자본 유지비.

3세 비유

정상상태 소비 = 산출에서 자본 유지 빼고.

Genealogy

인물	저작	note
Edmund Phelps (1961)	The Golden Rule of Accumulation	Golden Rule 의 first formulation.
David Cass (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Modified Golden Rule (할인 + 위험회피 도입).

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 정상상태 소비 = 산출 - 자본 유지비.

(8.38) ★ ★ Steady-state 저축률 Steady-State Saving Rate DRAFT vc-passed

$$s^* = \frac{(n + \delta)\, k^*}{f(k^*)}$$

Intuition

★ 정상상태 저축률 = 자본 유지비 / 산출.

3세 비유

정상상태 저축률.

Genealogy

인물	저작	note
Edmund Phelps (1961)	The Golden Rule of Accumulation	Golden Rule 의 first formulation.
David Cass (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Modified Golden Rule (할인 + 위험회피 도입).

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 정상상태 저축률 = 자본 유지비 / 산출.

§8.5Phase Diagram
Transitional Dynamics3 eq

(8.39) ★ ★ NGM 동적 시스템 — k 동학 NGM Dynamic — k Equation DRAFT vc-passed

$$\dot k(t) = f(k(t)) - (n + \delta) k(t) - c(t)$$

Intuition

★ NGM phase diagram 의 k 축. (5.28) Solow 와 동일하지만 c endogenous.

3세 비유

(k, c) 평면의 k 축 ODE.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	NGM 의 first formulation.
David Cass · Tjalling Koopmans (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Solow + Ramsey 통합 = NGM.
Robert Solow (1956)	A Contribution to the Theory of Economic Growth	NGM 자본 축적 식 (8.39) 의 기원.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ NGM phase diagram 의 k 축. (5.28) Solow 와 동일하지만 c endogenous.

(8.40) ★ ★ NGM 동적 시스템 — c 동학 NGM Dynamic — c Equation DRAFT vc-passed

$$\frac{\dot c}{c} = \frac{1}{\varepsilon_u}\, [f'(k) - \delta - \rho]$$

Intuition

★ (8.28) 동일. NGM phase diagram 의 c 축.

3세 비유

(8.28) 동일.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	NGM 의 first formulation.
David Cass · Tjalling Koopmans (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Solow + Ramsey 통합 = NGM.
Robert Solow (1956)	A Contribution to the Theory of Economic Growth	NGM 자본 축적 식 (8.39) 의 기원.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ (8.28) 동일. NGM phase diagram 의 c 축.

(8.41) Transversality 결합 Transversality Combined DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} k(t)\, e^{-\int (f'(k) - \delta - n)} = 0$$

Intuition

(8.26) 명시 형태.

3세 비유

(8.26) 풀이.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.26) 명시 형태.

§8.6이산 시간 NGM
Discrete-time NGM3 eq

(8.42) Discrete-time NGM — 평생 효용 Discrete-time NGM DRAFT vc-passed

$$\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u(c(t)) \text{ s.t. } a(t+1) = (1+r)a(t) + w - c$$

Intuition

이산 시간 NGM. (5.24) 과 동일.

3세 비유

이산 NGM.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	NGM 의 first formulation.
David Cass · Tjalling Koopmans (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Solow + Ramsey 통합 = NGM.
Robert Solow (1956)	A Contribution to the Theory of Economic Growth	NGM 자본 축적 식 (8.39) 의 기원.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

이산 시간 NGM. (5.24) 과 동일.

(8.43) Discrete No-Ponzi Discrete No-Ponzi DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} a(t) \prod_{s=1}^{t-1} \frac{1}{1+r(s)} \geq 0$$

Intuition

이산 시간 No-Ponzi.

3세 비유

(8.14) 이산판.

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인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

이산 시간 No-Ponzi.

(8.44) ★ ★ Discrete Consumption Euler Discrete Consumption Euler DRAFT vc-passed

$$u'(c(t)) = \beta(1 + r(t+1))\, u'(c(t+1))$$

Intuition

★ ★ 이산 시간 소비 Euler. ch06 (6.39) 동일. canonical 의 consumption_euler 핵심 사례.

3세 비유

(6.39) 동일.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	Euler 방정식의 거시 first formulation.
Robert Lucas (1976)	Econometric Policy Evaluation	micro-founded macro 의 Euler 표준화.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ ★ 이산 시간 소비 Euler. ch06 (6.39) 동일. canonical 의 consumption_euler 핵심 사례.

§8.7기술 진보 + CRRA
Technological Progress + CRRA10 eq

(8.45) ★ Labor-augmenting 기술 Labor-Augmenting Technology DRAFT vc-passed

$$Y(t) = F(K(t), A(t) L(t))$$

Intuition

★ Harrod-neutral 기술 진보. 효과적 노동 $A L$.

3세 비유

기술이 노동 능률을 키우는 형태.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ Harrod-neutral 기술 진보. 효과적 노동 $A L$.

(8.46) 효과적 노동 단위 산출 Output per Effective Worker DRAFT vc-passed

$$\hat y(t) \equiv \frac{Y(t)}{A(t) L(t)} = f(\hat k(t)), \quad \hat k = \frac{K}{AL}$$

Intuition

(8.45) 정규화. balanced growth path 의 핵심 변수.

3세 비유

한 명의 효과적 노동당 산출.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

(8.45) 정규화. balanced growth path 의 핵심 변수.

(8.47) ★ ★ CRRA Utility ★ CRRA Utility DRAFT vc-passed

$$u(c) = \frac{c^{1-\theta} - 1}{1 - \theta}, \quad R = \theta$$

Intuition

★ ★ Constant Relative Risk Aversion 효용. 거시 표준 함수형. θ = 위험회피 = 1/IES.

3세 비유

CRRA 효용 — 위험회피 일정.

Genealogy

인물	저작	note
John Pratt (1964)	Risk Aversion in the Small and in the Large	CRRA 정초.
Kenneth Arrow (1965)	Aspects of the Theory of Risk-Bearing	Arrow-Pratt 위험회피.

Applications

NGM 표준
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기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ ★ Constant Relative Risk Aversion 효용. 거시 표준 함수형. θ = 위험회피 = 1/IES.

(8.48) Budget — discrete prices Budget — Discrete Prices DRAFT vc-passed

$$\sum_{j=1}^N p_j c_j \leq y$$

Intuition

정태 가구 예산.

3세 비유

정태 예산.

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인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

Applications

NGM 표준
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기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

정태 가구 예산.

(8.49) ★ ★ CRRA + 인구 — 평생 효용 CRRA + Population Lifetime Utility DRAFT vc-passed

$$\int_0^{\infty} e^{-(\rho-n)t}\, \frac{c(t)^{1-\theta} - 1}{1-\theta}\, dt$$

Intuition

★ NGM의 표준 효용 함수. CRRA + 효과적 할인.

3세 비유

거시 표준 평생 효용.

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인물	저작	note
John Pratt (1964)	Risk Aversion in the Small and in the Large	CRRA 정초.
Kenneth Arrow (1965)	Aspects of the Theory of Risk-Bearing	Arrow-Pratt 위험회피.

Applications

NGM 표준
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기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ NGM의 표준 효용 함수. CRRA + 효과적 할인.

(8.50) ★ ★ CRRA Consumption Euler CRRA Consumption Euler DRAFT vc-passed

$$\frac{\dot c}{c} = \frac{1}{\theta}(r(t) - \rho)$$

Intuition

★ ★ (8.13) 동일 — CRRA 형식 명시. 거시경제학 핵심 식.

3세 비유

CRRA NGM Euler — 표준.

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인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	Euler 방정식의 거시 first formulation.
Robert Lucas (1976)	Econometric Policy Evaluation	micro-founded macro 의 Euler 표준화.

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NGM 표준
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기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ ★ (8.13) 동일 — CRRA 형식 명시. 거시경제학 핵심 식.

(8.51) Effective consumption 정의 Effective Consumption Definition DRAFT vc-passed

$$\tilde c(t) \equiv \frac{C}{AL} = \frac{c(t)}{A(t)}$$

Intuition

효과적 노동당 소비 정의.

3세 비유

기술 단위 소비.

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인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

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NGM 표준
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기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

효과적 노동당 소비 정의.

(8.52) Transversality — effective form Transversality — Effective Form DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} \hat k(t)\, e^{-\int (f'(\hat k) - \delta - n - g)} = 0$$

Intuition

효과적 단위 transversality.

3세 비유

효과적 transversality.

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Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Transversality 정초.
Hirofumi Uzawa (1968)	Time Preference, Capital, and Optimal Saving	거시 transversality 표준.

Applications

NGM 표준
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기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

효과적 단위 transversality.

(8.53) ★ ★ ★ ★ Modified Golden Rule with Growth ★ ★ MGR with Tech Growth DRAFT vc-passed

$$f'(k^*) = \rho + \delta + \theta g$$

Intuition

★ ★ ★ (8.30) 동일 — 기술성장 g 포함. **canonical 의 ramsey_eq 등록 사례**. ch08 의 정점.

3세 비유

정상상태 자본 = 인내심 + 감가 + 위험회피×기술성장.

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Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

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기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ ★ ★ (8.30) 동일 — 기술성장 g 포함. **canonical 의 ramsey_eq 등록 사례**. ch08 의 정점.

(8.54) ★ ★ Effective Steady-State Effective Steady-State DRAFT vc-passed

$$\tilde c^* = f(\hat k^*) - (n + g + \delta)\, \hat k^*$$

Intuition

★ 효과적 정상상태 소비.

3세 비유

효과적 정상상태 c*.

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David Cass (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Modified Golden Rule (할인 + 위험회피 도입).

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거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 효과적 정상상태 소비.

§8.8Cobb-Douglas 명시
Cobb-Douglas Explicit2 eq

(8.55) Cobb-Douglas 명시 동학 Cobb-Douglas Explicit Dynamics DRAFT vc-passed

$$f(k) = k^\alpha, \quad \frac{d\tilde c/dt}{\tilde c} = \frac{1}{\theta}[\alpha k^{\alpha-1} - \delta - \rho]$$

Intuition

Example 8.2 Cobb-Douglas 명시 풀이.

3세 비유

Cobb-Douglas 명시 동학.

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Example 8.2 Cobb-Douglas 명시 풀이.

(8.56) z = c̃/k 동학 z = tilde c / k Dynamics DRAFT vc-passed

$$\frac{\dot z}{z} = \frac{d\tilde c/dt}{\tilde c} - \frac{\dot k}{k}$$

Intuition

비율 변수 동학.

3세 비유

비율의 시간 변화.

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Civilizational Relevance

비율 변수 동학.

§8.9조세 + Distortion
Tax + Distortion1 eq

(8.57) 조세 + 이자 — Distortion Tax + Interest Distortion DRAFT vc-passed

$$r(t) = (1-\tau)(f'(k) - \delta), \quad \frac{d\tilde c/dt}{\tilde c} = \frac{1}{\theta}[(1-\tau)(f'(k)-\delta) - \rho]$$

Intuition

조세 τ 도입 — 자본 수익에 distortion.

3세 비유

조세가 자본 결정 왜곡.

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조세 τ 도입 — 자본 수익에 distortion.

§8.10Cross-country 응용
Cross-country Applications6 eq

(8.58) Multi-country NGM Multi-country NGM DRAFT vc-passed

$$\int_0^{\infty} e^{-\rho t}\, \frac{C_j(t)^{1-\theta} - 1}{1-\theta}\, dt$$

Intuition

Section 8.10 — 다국가 NGM cross-country 분석.

3세 비유

여러 나라 비교용.

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Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	NGM 의 first formulation.
David Cass · Tjalling Koopmans (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Solow + Ramsey 통합 = NGM.
Robert Solow (1956)	A Contribution to the Theory of Economic Growth	NGM 자본 축적 식 (8.39) 의 기원.

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NGM 표준
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기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

Section 8.10 — 다국가 NGM cross-country 분석.

(8.59) 다국가 Cobb-Douglas Multi-country Cobb-Douglas DRAFT vc-passed

$$Y_j(t) = K_j(t)^\alpha (A H_j(t))^{1-\alpha}$$

Intuition

국가별 Cobb-Douglas.

3세 비유

나라별 생산함수.

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Civilizational Relevance

국가별 Cobb-Douglas.

(8.60) 다국가 자본 축적 Multi-country Capital Accumulation DRAFT vc-passed

$$\dot K_j(t) = I_j(t) - \delta K_j(t)$$

Intuition

국가별 자본 축적.

3세 비유

나라별 자본 변화.

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Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

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NGM 표준
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기후 정책 (Stern-Nordhaus)

Civilizational Relevance

국가별 자본 축적.

(8.61) 다국가 예산 제약 Multi-country Budget DRAFT vc-passed

$$(1+\tau_j)\, I_j(t) + C_j(t) \leq Y_j(t)$$

Intuition

국가별 distortion 포함 예산.

3세 비유

조세 + 투자 + 소비 ≤ 산출.

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Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

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국가별 distortion 포함 예산.

(8.62) ★ ★ 다국가 Steady-state 자본 Multi-country Steady-State Capital DRAFT vc-passed

$$K_j^* = \left[\frac{\alpha}{(1+\tau_j)(\rho+\delta)}\right]^{1/(1-\alpha)}$$

Intuition

★ 조세별 정상상태 자본. cross-country income 격차 분석.

3세 비유

조세 다른 나라들의 정상 자본.

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David Cass (1965)	Optimum Growth in Aggregative Models	Modified Golden Rule (할인 + 위험회피 도입).

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거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ 조세별 정상상태 자본. cross-country income 격차 분석.

(8.63) ★ ★ 다국가 산출 비율 Multi-country Output Ratio DRAFT vc-passed

$$\frac{Y(\tau)}{Y(\tau')} = \left(\frac{1+\tau'}{1+\tau}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}$$

Intuition

★ ★ ch08 의 응용 정점 — 조세 distortion 만으로 cross-country income 격차 설명. **Acemoglu 의 institutional approach 의 정량 사례**.

3세 비유

두 나라 산출 비 = (조세 비율)^(α/(1-α)).

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Frank Ramsey (1928)	Mathematical Theory of Saving	RCK origin.

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NGM 표준
RBC/DSGE
기후 정책 (Stern-Nordhaus)
거시 동적 최적화 표준

Civilizational Relevance

★ canonical bridge — ★ ★ ch08 의 응용 정점 — 조세 distortion 만으로 cross-country income 격차 설명. **Acemoglu 의 in

Acemoglu ch08 — RICH 프리뷰: 신고전 성장 모형 (NGM)