Acemoglu ch07 — RICH 프리뷰: 최적제어 이론

§7.1변분 논증 (Variational Arguments)
Variational Arguments14 eq

(7.2) ★ Bolza 최적제어 문제 (objective functional) Bolza Optimal Control Problem DRAFT vc-passed

$$\max_{x(t), y(t), x_1} W(x(t), y(t)) \equiv \int_0^{t_1} f(t, x(t), y(t))\, dt$$

Intuition

★ ch07 출발 식. **Bolza problem** — Lagrange (적분형) + Mayer (terminal cost) 통합 형. 시간 0 ~ t_1 의 적분 형식 목적함수 W 최대화. y(t) 는 control variable, x(t) 는 state variable. 모든 dynamic optimization 의 정전 framework.

3세 비유

한 사람이 일생 동안 "행복의 합" 을 최대화하려는 문제. 매 시점의 행복 f 를 모두 더한 것이 W.

Genealogy

인물	저작	note
Oskar Bolza (1909)	Vorlesungen über Variationsrechnung	Bolza problem 정초 — Lagrange + Mayer 통합.
Lev Pontryagin (1956)	The Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초 — control theory 의 정전.
Kenneth Arrow · Mordecai Kurz (1970)	Public Investment, the Rate of Return, and Optimal Fiscal Policy	Optimal control 의 macro 적용 정착.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans 모형
Lucas asset pricing
DICE climate model
한국 거시 정책 simulation

Civilizational Relevance

★ 동적 의사결정의 가장 일반적 framework. 개인 lifecycle 부터 정부 정책까지 모두 포괄.

(7.3) ★ 상태 방정식 (state equation) State Equation DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = g(t, x(t), y(t))$$

Intuition

상태 변수 x(t) 의 동학. 제어 변수 y(t) 와 시점 t 가 입력. 가장 일반적 비선형 ODE. (Solow 모형: x = capital, y = consumption, $\dot x = sf(k) - \delta k - y$)

3세 비유

시간이 지나면서 "상태" 가 어떻게 변하는지 — 행동 y 에 따라 달라진다.

Genealogy

인물	저작	note
Henri Poincaré (1881)	Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle	비선형 ODE 의 동적 시스템 분석 정초.

Applications

state-space 모형 일반
Kalman filter 입력
Bellman dynamic programming

Civilizational Relevance

동적 시스템 framework 의 가장 일반 form — 물리·생물·경제 공통.

(7.4) feasibility — 제약 집합 Feasibility Constraint Set DRAFT vc-passed

$$x(t) \in X, \quad y(t) \in Y$$

Intuition

변수 가능 집합 정의.

3세 비유

선택 가능한 후보 집합.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

변수 가능 집합 정의.

(7.5) Variation 변분 setup Variation Setup DRAFT vc-passed

$$\eta(t) \in C^1, \quad \eta(0) = 0$$

Intuition

변분 perturbation 정의 — 최적 경로 주변 작은 변동.

3세 비유

'정답 경로 옆에 살짝 흔들어 본 경로' 정의.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

변분 perturbation 정의 — 최적 경로 주변 작은 변동.

(7.6) Perturbed feasibility Perturbed Trajectory Feasibility DRAFT vc-passed

$$x(t, \varepsilon) = \hat x(t) + \varepsilon\, \eta(t)$$

Intuition

perturbation $\varepsilon \eta$ 도입한 새 trajectory.

3세 비유

원 경로 + 작은 변동.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

perturbation $\varepsilon \eta$ 도입한 새 trajectory.

(7.7) 변분 적분 W(ε) Variational Integral W(ε) DRAFT vc-passed

$$W(\varepsilon) = \int_0^{t_1} f(t, x(t, \varepsilon), y(t, \varepsilon))\, dt$$

Intuition

perturbed 보상 적분.

3세 비유

흔든 경로의 총보상.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

perturbed 보상 적분.

(7.8) ★ Lagrangian 도입 — costate λ Lagrangian with Costate DRAFT vc-passed

$$W(\varepsilon) = \int_0^{t_1} \{f(t, x, y) + \lambda(t)[g(t, x, y) - \dot x(t)]\}\, dt$$

Intuition

★ 라그랑주 승수 $\lambda(t)$ 도입 — 상태 방정식 제약을 효용에 흡수. **Pontryagin 원리의 직접 prerequisite**.

3세 비유

제약을 효용에 묶어 자유 최적화로 변환.

Genealogy

인물	저작	note
Pierre de Fermat (1662)	Principle of Least Time	변분 원리 의 직관적 출발.
Leonhard Euler (1744)	Methodus Inveniendi	변분 미적분 정초. EL 방정식.
Joseph-Louis Lagrange (1788)	Mécanique Analytique	Lagrangian 형식 정초.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ 라그랑주 승수 $\lambda(t)$ 도입 — 상태 방정식 제약을 효용에 흡수. **Pontryagin 원리의 직접 prerequisite*

(7.9) 변분 정리 — 부분적분 Variation Integration by Parts DRAFT vc-passed

$$W(\varepsilon) = \int_0^{t_1} [f + \lambda g]\, dt + [\lambda x]_0^{t_1} - \int_0^{t_1} \dot \lambda x\, dt$$

Intuition

부분적분으로 $\dot x$ 항을 $\dot \lambda$ 항으로 변환 — Pontryagin 도출의 핵심.

3세 비유

$\dot x \lambda$ 를 $\dot \lambda x$ 로 바꾸는 부분적분.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

부분적분으로 $\dot x$ 항을 $\dot \lambda$ 항으로 변환 — Pontryagin 도출의 핵심.

(7.10) 1차 최적성 조건 W'(0)=0 First-Order Optimality W'(0)=0 DRAFT vc-passed

$$W'(0) = 0 \quad \text{for all } \eta(t)$$

Intuition

변분 0 차 조건 — 모든 perturbation 에 대해 $W$ 의 1차 변화 사라짐. 정상 작용 원리 ↔ Fermat 원리 의 일반화.

3세 비유

'어떻게 흔들어도 1차 변화 0' = 최적.

Genealogy

인물	저작	note
Pierre de Fermat (1662)	Principle of Least Time	변분 원리 의 직관적 출발.
Leonhard Euler (1744)	Methodus Inveniendi	변분 미적분 정초. EL 방정식.
Joseph-Louis Lagrange (1788)	Mécanique Analytique	Lagrangian 형식 정초.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

변분 0 차 조건 — 모든 perturbation 에 대해 $W$ 의 1차 변화 사라짐. 정상 작용 원리 ↔ Fermat 원리 의 일반화.

(7.11) ★ Costate (adjoint) ODE — Pontryagin Costate (Adjoint) ODE DRAFT vc-passed

$$\dot \lambda(t) = -\bigl[f_x(t, \hat x(t), \hat y(t)) + \lambda(t)\, g_x(t, \hat x(t), \hat y(t))\bigr]$$

Intuition

★ Pontryagin Maximum Principle 의 핵심 — costate (adjoint) variable λ(t) 의 동학. λ 는 state variable x 의 그림자 가격 (shadow price). f_x = 즉시 효용 한계, λ·g_x = 미래 영향. 둘의 합의 음수가 λ̇.

3세 비유

어떤 자원의 "가치 변화 속도" — 지금 이 자원이 1 더 있으면 미래 행복이 얼마나 늘까 — 그것의 시간 변화.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin et al. (1956)	The Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초 — costate ODE 첫 도입.
Joseph-Louis Lagrange (1788)	Mécanique analytique	Adjoint variable 의 변분법 origin — Lagrange multiplier 와 동등.

Applications

Pontryagin Maximum Principle 응용
shadow price 해석 (Arrow 1960s)
한국 자원 정책 valuation

Civilizational Relevance

★ '미래 가치' 의 수학 — control theory 가 economics 에 도입한 가장 강력한 도구. 자원·환경·인적자본의 shadow price.

(7.12) ★ Pontryagin 1차 조건 (control variable) Pontryagin First-Order Condition DRAFT vc-passed

$$f_y(t, \hat x(t), \hat y(t)) + \lambda(t)\, g_y(t, \hat x(t), \hat y(t)) = 0 \quad \forall t \in [0, t_1]$$

Intuition

Pontryagin Maximum Principle 의 control y 에 대한 1차 조건. f_y (즉시 효용 한계) + λ·g_y (미래 영향 한계) = 0 → 한계 효용 = 한계 미래 비용.

3세 비유

최선의 행동 y* 는: 지금 얻는 효용 + 미래에 잃는 가치 = 0 (균형).

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin et al. (1956)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle step 4.
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving (Econ J)	지속가능 저축률 도출에 본 식 사용.

Applications

Ramsey 1928 저축률 도출
Cass-Koopmans 1965 macro
asset pricing FOC

Civilizational Relevance

★ wKL canonical (first_order_condition) 매칭 — Acemoglu 4회. 변분법의 stationarity 와 등가.

(7.13) 단순화된 자유 종단 시간 문제 Free Terminal Time Problem DRAFT vc-passed

$$\max_{x(t), y(t)} W(x(t), y(t)) \equiv \int_0^{t_1} f(t, x(t), y(t))\, dt$$

Intuition

$x_1$ free 사례.

3세 비유

끝 상태 자유로운 변형.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

$x_1$ free 사례.

(7.14) Example 7.1 — costate Example 7.1 Costate DRAFT vc-passed

$$\exp(-\rho t)\, u'(\hat c(t)) = \lambda(t)$$

Intuition

Example 7.1 (소비-저축) 의 costate. 소비 한계 효용 (할인) = costate.

3세 비유

'한계 효용 (할인 후) = 그림자 가격'.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

Example 7.1 (소비-저축) 의 costate. 소비 한계 효용 (할인) = costate.

(7.15) Example 7.1 — costate ODE Example 7.1 Costate ODE DRAFT vc-passed

$$\dot \lambda(t) = -r\, \lambda(t)$$

Intuition

Example 7.1 — costate 가 이자율 $r$ 로 감소. 그림자 가격의 지수 감쇠.

3세 비유

그림자 가격 = 이자율로 깎임.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

Example 7.1 — costate 가 이자율 $r$ 로 감소. 그림자 가격의 지수 감쇠.

§7.2Maximum Principle 첫 인상
The Maximum Principle: A First Look9 eq

(7.16) Maximum Principle — 종단 자유 형태 MP — Free Terminal DRAFT vc-passed

$$x(t_1) = x_1 \text{ free}, \quad \lambda(t_1) = 0$$

Intuition

transversality (종단) 조건 — $x_1$ free 시 $\lambda(t_1) = 0$.

3세 비유

끝점 자유 시 그림자 가격 = 0.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

transversality (종단) 조건 — $x_1$ free 시 $\lambda(t_1) = 0$.

(7.17) ★ Simplified Maximum Principle (Hamiltonian form) Simplified Maximum Principle DRAFT vc-passed

$$H_y(t, \hat x(t), \hat y(t), \lambda(t)) = 0 \quad \forall t \in [0, t_1]$$

Intuition

★★ ch07 의 가장 간결한 form. Hamiltonian H ≡ f + λg 정의 후 H_y = 0 가 control 의 1차 조건. (7.12) 와 등가이지만 H 표기가 physics 와 직접 연결.

3세 비유

물리에서 Hamiltonian (에너지) 이 행동 (운동량) 에 대해 stationary — 같은 식이 경제 control 에도.

Genealogy

인물	저작	note
William Rowan Hamilton (1833)	On a General Method in Dynamics	Hamiltonian mechanics 정초.
Lev Pontryagin et al. (1956)	Optimal Processes	Hamilton의 mechanics framework 를 control theory 로 재구성.

Applications

Hamiltonian dynamic programming
Hamilton-Jacobi-Bellman equation 도출
stochastic optimal control

Civilizational Relevance

★★ Mirowski 가설의 주요 micro-evidence — Hamilton 1833 mechanics 가 Acemoglu 2009 economics 에 직접 차용.

(7.18) ★ Costate ODE (Hamiltonian form) Costate ODE — Hamiltonian Form DRAFT vc-passed

$$\dot \lambda(t) = -H_x(t, \hat x(t), \hat y(t), \lambda(t))$$

Intuition

★★★ Hamilton's equation 의 정확 동형 — physics 에서 $\dot p = -\partial H/\partial q$ 와 algebraic 동등. Pontryagin 이 1956 년 의도적으로 이 form 으로 작성.

3세 비유

물리에서 "운동량" 의 시간 변화 = -"에너지"의 위치 미분. 경제에서도 같은 식.

Genealogy

인물	저작	note
William Rowan Hamilton (1833)	On a General Method in Dynamics	$\dot p = -\partial H/\partial q$ 정초.
Lev Pontryagin (1956)	Optimal Processes	Hamilton 의 식을 control theory 로 직접 import.

Applications

physics-economics 형식 동형의 정전 example

Civilizational Relevance

★★★ Mirowski 가설의 가장 강한 single-equation 증거 (ch07 version). Hamilton 1833 ↔ Acemoglu 2009 직선.

(7.19) ★ State ODE (Hamiltonian form) State ODE — Hamiltonian Form DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = H_\lambda(t, \hat x(t), \hat y(t), \lambda(t))$$

Intuition

Hamilton's second equation — $\dot q = \partial H/\partial p$ 동형. (7.18) 과 함께 Hamiltonian system 완성.

3세 비유

위치의 시간 변화 = 에너지의 운동량 미분. 경제에서도 같은 form.

Genealogy

인물	저작	note
William Rowan Hamilton (1833)	On a General Method in Dynamics	Hamilton 방정식 짝의 두 번째.

Applications

Hamiltonian dynamics economics 적용

Civilizational Relevance

(7.18) 과 함께 Hamilton system 완성 — 형식 transfer 의 정전 example.

(7.20) 최대화된 Hamiltonian (M function) Maximized Hamiltonian DRAFT vc-passed

$$M(t, x(t), \lambda(t)) \equiv \max_{y \in Y} H(t, x(t), y, \lambda(t))$$

Intuition

Hamiltonian H 를 control y 에 대해 최대화한 함수 M. value function V 와의 다리 — Bellman/HJB 도출의 첫 단계.

3세 비유

각 시점에서 가능한 모든 행동 y 중 최선을 선택했을 때의 "최대 Hamiltonian" 값.

Genealogy

인물	저작	note
Richard Bellman (1957)	Dynamic Programming	Value function 의 envelope 표현.

Applications

HJB equation 도출 (다음 단계)
DP value iteration
Acemoglu ch16 stochastic DP 입력

Civilizational Relevance

Pontryagin (Maximum Principle) ↔ Bellman (Dynamic Programming) 두 framework 의 다리.

(7.21) M concavity 단계 M Concavity Step DRAFT vc-passed

$$\int_0^{t_1} M\, dt \leq \int_0^{t_1} M(\hat x)\, dt + \int_0^{t_1} M_x \cdot (x - \hat x)\, dt$$

Intuition

M 의 1차 Taylor 부등식. 충분조건 증명 단계.

3세 비유

M의 평균값 부등식.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

M 의 1차 Taylor 부등식. 충분조건 증명 단계.

(7.22) Envelope — M_x = H_x Envelope — M_x equals H_x DRAFT vc-passed

$$M_x(t, \hat x, \lambda) = H_x(t, \hat x, \hat y, \lambda)$$

Intuition

M envelope 결과. y* 가 max 이므로 $\partial M / \partial x = \partial H/\partial x|_{y=y^*}$.

3세 비유

'M의 x 미분 = H의 x 미분' (envelope).

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

M envelope 결과. y* 가 max 이므로 $\partial M / \partial x = \partial H/\partial x|_{y

(7.23) 충분조건 증명 단계 Sufficiency Step DRAFT vc-passed

$$\int_0^{t_1} [M(t, x, \lambda) - M(\hat x, \lambda)]\, dt \leq \int_0^{t_1} M_x \cdot (x - \hat x)\, dt$$

Intuition

충분조건 (Theorem 7.2) 증명의 부등식 단계.

3세 비유

기술 단계.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

충분조건 (Theorem 7.2) 증명의 부등식 단계.

(7.24) 충분조건 마무리 단계 Sufficiency Conclusion Step DRAFT vc-passed

$$\int [\lambda(g - g(\hat x))]\, dt - \int \dot \lambda (x - \hat x)\, dt = [\lambda(x - \hat x)]_0^{t_1}$$

Intuition

Theorem 7.2 마무리 — 부분적분 후 종단 항만 남음. transversality 결합 → 0.

3세 비유

기술 종료 단계.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

Theorem 7.2 마무리 — 부분적분 후 종단 항만 남음. transversality 결합 → 0.

§7.3무한지평 OC
Infinite-Horizon Optimal Control17 eq

(7.25) ★ ★ Maximum Principle — 일반 형태 (벡터) MP — General Vector Form DRAFT vc-passed

$$\max_{x(t), y(t), x_1} W(x, y) \equiv \int_0^{t_1} f(t, x, y)\, dt$$

Intuition

★ §7.3 일반 (벡터) 형식 도입.

3세 비유

다차원 일반화.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ §7.3 일반 (벡터) 형식 도입.

(7.26) 벡터 상태 방정식 Vector State Equation DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = G(t, x(t), y(t))$$

Intuition

벡터 형식 상태 진화.

3세 비유

(7.3) 의 다차원판.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

벡터 형식 상태 진화.

(7.27) 벡터 feasibility Vector Feasibility DRAFT vc-passed

$$x(t) \in X \subset \mathbb{R}^{K_x}, \quad y(t) \in Y \subset \mathbb{R}^{K_y}$$

Intuition

벡터 가능 집합.

3세 비유

다차원 가능 영역.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

벡터 가능 집합.

(7.28) ★ ★ Generalized Hamiltonian Generalized Hamiltonian DRAFT vc-passed

$$H(t, x, y, \lambda) \equiv f(t, x, y) + \lambda(t) \cdot G(t, x, y)$$

Intuition

★ ch07 의 핵심. **벡터 형식 Hamiltonian** $H = f + \lambda \cdot G$. Pontryagin 원리의 정식 정의. 물리의 Hamiltonian $H = T + V$ 와 같은 구조 — costate $\lambda$ 가 conjugate momentum 역할.

3세 비유

Hamiltonian = 보상 + 그림자 가격 × 상태진화.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamiltonian 정초. 물리·수학·경제 변분 원리의 공통 조상.
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초. 경제학 OC 의 표준.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ch07 의 핵심. **벡터 형식 Hamiltonian** $H = f + \lambda \cdot G$. Pontryagin 원리의 정식

(7.29) ★ ★ MP — 통제 FOC (벡터) MP — Control FOC (Vector) DRAFT vc-passed

$$D_y H(t, \hat x, \hat y, \lambda) = 0 \quad \forall t \in [0, t_1]$$

Intuition

★ Pontryagin (7.17) 벡터판.

3세 비유

벡터 통제 FOC.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamiltonian 정초. 물리·수학·경제 변분 원리의 공통 조상.
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초. 경제학 OC 의 표준.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ Pontryagin (7.17) 벡터판.

(7.30) ★ ★ MP — costate 동학 (벡터) MP — Costate Dynamic (Vector) DRAFT vc-passed

$$\dot \lambda(t) = -D_x H(t, \hat x, \hat y, \lambda)$$

Intuition

★ (7.18) 벡터판.

3세 비유

벡터 costate 진화.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamiltonian 정초. 물리·수학·경제 변분 원리의 공통 조상.
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초. 경제학 OC 의 표준.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ (7.18) 벡터판.

(7.31) ★ ★ MP — 상태 동학 (벡터) MP — State Dynamic (Vector) DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = D_\lambda H(t, \hat x, \hat y, \lambda)$$

Intuition

★ (7.19) 벡터판.

3세 비유

벡터 상태 진화.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamiltonian 정초. 물리·수학·경제 변분 원리의 공통 조상.
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초. 경제학 OC 의 표준.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ (7.19) 벡터판.

(7.32) 무한지평 OC — 목적 Infinite-Horizon OC — Objective DRAFT vc-passed

$$\max_{x(t), y(t)} W(x, y) \equiv \int_0^{\infty} f(t, x, y)\, dt$$

Intuition

무한지평 적분 형식.

3세 비유

무한 미래 보상 적분.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

무한지평 적분 형식.

(7.33) 무한지평 OC — 상태 Infinite-Horizon State DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = g(t, x(t), y(t))$$

Intuition

(7.3) 동일.

3세 비유

(7.3) 동일.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

(7.3) 동일.

(7.34) Stationarity — 종단 조건 Stationarity — Boundary Condition DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} b(t)\, x(t) \geq x_1$$

Intuition

무한지평의 종단 (state lower bound). 이후 transversality 와 결합.

3세 비유

무한 시점에서 상태 하한.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

무한지평의 종단 (state lower bound). 이후 transversality 와 결합.

(7.35) ★ Value Function — 무한지평 Infinite-Horizon Value Function DRAFT vc-passed

$$V(t_0, x(t_0)) = \sup_{(x(t), y(t)) \in X \times Y} \int_{t_0}^{\infty} f(t, x, y)\, dt$$

Intuition

★ ★ 무한지평 OC 의 가치 함수. **HJB 방정식의 V**. ch06 (6.1) Bellman 의 연속 시간판.

3세 비유

최적 평생 보상 가치 함수.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ 무한지평 OC 의 가치 함수. **HJB 방정식의 V**. ch06 (6.1) Bellman 의 연속 시간판.

(7.36) V ≥ admissible 부등식 V ≥ Admissible Pair DRAFT vc-passed

$$V(t_0, x(t_0)) \geq \int_{t_0}^{\infty} f(t, x, y)\, dt \quad \text{for any admissible}$$

Intuition

sup 정의 직접 결과.

3세 비유

sup 정의.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

sup 정의 직접 결과.

(7.37) V = optimal 적분 V = Optimal Integral DRAFT vc-passed

$$V(t_0, x(t_0)) = \int_{t_0}^{\infty} f(t, \hat x, \hat y)\, dt$$

Intuition

최적 trajectory 의 적분 = V.

3세 비유

최적 = sup.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

최적 trajectory 의 적분 = V.

(7.38) Lemma 7.1 — V 단조성/연속성 Lemma 7.1 — V Properties DRAFT vc-passed

$$\text{Lemma 7.1: } V \text{ continuous and concave under regularity}$$

Intuition

Lemma 7.1 statement.

3세 비유

V 의 좋은 성질.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

Lemma 7.1 statement.

(7.39) Hamiltonian 최대성 — y* 최적 Hamiltonian Maximality at y* DRAFT vc-passed

$$H(t, \hat x, \hat y, \lambda) \geq H(t, \hat x, y, \lambda)$$

Intuition

최적 통제 $y^*$ 가 H 를 최대화. (7.17) 의 부등식 형태.

3세 비유

최적 y* 가 H 의 max.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

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거시 OC 표준

Civilizational Relevance

최적 통제 $y^*$ 가 H 를 최대화. (7.17) 의 부등식 형태.

(7.40) Costate 동학 (무한지평) Costate Dynamic (Infinite) DRAFT vc-passed

$$\dot \lambda(t) = -H_x(t, \hat x, \hat y, \lambda)$$

Intuition

(7.18) 무한지평판.

3세 비유

무한지평 costate.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

(7.18) 무한지평판.

(7.41) State 동학 (무한지평) State Dynamic (Infinite) DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = H_\lambda(t, \hat x, \hat y, \lambda), \quad \lim_{t \to \infty} b(t) x(t) \geq x_1$$

Intuition

(7.19) + 종단 조건.

3세 비유

(7.19) + boundary.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

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거시 OC 표준

Civilizational Relevance

(7.19) + 종단 조건.

§7.4HJB 방정식
Heuristic Derivation of HJB15 eq

(7.42) HJB 도출 — Heuristic HJB Heuristic Derivation DRAFT vc-passed

$$V(t, x(t)) = \max_{y} \int_t^{t+\Delta t} f\, ds + V(t + \Delta t, x(t + \Delta t))$$

Intuition

HJB 도출의 heuristic 단계 — Bellman 식의 연속 시간판.

3세 비유

한 시간 + 미래 V.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

HJB 도출의 heuristic 단계 — Bellman 식의 연속 시간판.

(7.43) ★ ★ Stationary HJB — 가치 함수 형태 Stationary HJB — Value Function Form DRAFT vc-passed

$$V(t, x(t)) = \exp(-\rho t)\, v(x(t)) \quad \forall t$$

Intuition

★ 정상상태 HJB — V 가 시간 의존 = 할인 분리. $v(x)$ 시간 무관 부분.

3세 비유

할인 인수 분리.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamilton-Jacobi PDE 정초.
Carl Gustav Jacobi (1837)	Vorlesungen über Dynamik	Hamilton-Jacobi 정형화.
Richard Bellman (1957)	Dynamic Programming	Bellman 1957 이 명시 인용. HJB 명명의 마지막 인물. P-mathphys-001 핵심 다리.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ 정상상태 HJB — V 가 시간 의존 = 할인 분리. $v(x)$ 시간 무관 부분.

(7.44) ★ ★ ★ ★ Hamilton-Jacobi-Bellman 방정식 ★ ★ Hamilton-Jacobi-Bellman Equation DRAFT vc-passed

$$\rho\, v(\hat x(t)) = f(\hat x, \hat y) + \dot v(\hat x(t))$$

Intuition

★ ★ ★ ch07 의 정점. **HJB 방정식** — 연속시간 동적 최적화의 PDE. **Hamilton-Jacobi 1834 와 동일** + Bellman 1957 결합. **P-mathphys-001 의 가장 강한 다리**: 물리의 변분 원리 → 1834 Hamilton-Jacobi → 1957 Bellman → Acemoglu 2009.

3세 비유

'할인된 가치 = 즉시 보상 + 가치 변화율'.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamilton-Jacobi PDE 정초.
Carl Gustav Jacobi (1837)	Vorlesungen über Dynamik	Hamilton-Jacobi 정형화.
Richard Bellman (1957)	Dynamic Programming	Bellman 1957 이 명시 인용. HJB 명명의 마지막 인물. P-mathphys-001 핵심 다리.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ ★ ch07 의 정점. **HJB 방정식** — 연속시간 동적 최적화의 PDE. **Hamilton-Jacobi 1834 와 동일** +

(7.46) HJB 응용 표기 HJB Notation DRAFT vc-passed

$$\rho\, v(\hat x(t)) - \dot v(\hat x(t)) = f(\hat x, \hat y) + v'(\hat x) \dot x$$

Intuition

(7.44) 의 자세한 형태.

3세 비유

(7.44) 풀이형.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamilton-Jacobi PDE 정초.
Carl Gustav Jacobi (1837)	Vorlesungen über Dynamik	Hamilton-Jacobi 정형화.
Richard Bellman (1957)	Dynamic Programming	Bellman 1957 이 명시 인용. HJB 명명의 마지막 인물. P-mathphys-001 핵심 다리.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

(7.44) 의 자세한 형태.

(7.47) Hamiltonian 적분 형식 Hamiltonian Integral Form DRAFT vc-passed

$$\int_0^{t_1} H(t, \hat x, y, \lambda)\, dt = \int_0^{t_1} [f + \lambda g]\, dt$$

Intuition

Hamiltonian 정의 적분형.

3세 비유

H = f + λg 적분.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

Hamiltonian 정의 적분형.

(7.48) ★ HJB — 한 단계 후 표현 HJB — One Step Form DRAFT vc-passed

$$\rho\, v(\hat x(t)) = \max_y [f(\hat x, y) + v'(\hat x) g(\hat x, y)]$$

Intuition

★ HJB 의 max 형식. (7.44) 의 통제 명시.

3세 비유

할인 가치 = max H.

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인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamilton-Jacobi PDE 정초.
Carl Gustav Jacobi (1837)	Vorlesungen über Dynamik	Hamilton-Jacobi 정형화.
Richard Bellman (1957)	Dynamic Programming	Bellman 1957 이 명시 인용. HJB 명명의 마지막 인물. P-mathphys-001 핵심 다리.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ HJB 의 max 형식. (7.44) 의 통제 명시.

(7.49) Perturbation — V 시간 차이 Perturbation V Time Difference DRAFT vc-passed

$$\frac{V(t_0+t, x_\delta(t_0+t)) - V(t_0, \hat x(t_0))}{t} \leq -\frac{1}{t} \int_{t_0}^{t_0+t} f\, dt$$

Intuition

HJB 증명의 perturbation 부등식.

3세 비유

기술 단계.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

HJB 증명의 perturbation 부등식.

(7.50) Perturbation — t→0 한계 Perturbation Limit t→0 DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\int_{t_0}^{t_0+t} f\, dt = f(t_0, x_\delta(t_0), y_\delta(t_0))$$

Intuition

기본 적분 한계.

3세 비유

기술 단계.

Genealogy

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Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

기본 적분 한계.

(7.51) Perturbation — V 미분 한계 Perturbation V Derivative Limit DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to 0} \frac{V(t_0+t, x_\delta) - V(t_0, \hat x)}{t} = \partial_t V + \partial_x V \cdot \dot x_\delta$$

Intuition

V 의 전미분 정의.

3세 비유

기술 단계.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

V 의 전미분 정의.

(7.52) Perturbation — 부등식 결합 Perturbation Inequality Combined DRAFT vc-passed

$$f(t_0, x_\delta, y_\delta) + \partial_t V + \partial_x V \cdot g(t_0, x_\delta, y_\delta) \leq 0$$

Intuition

(7.49)-(7.51) 결합 부등식.

3세 비유

기술 단계.

Genealogy

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Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

(7.49)-(7.51) 결합 부등식.

(7.53) Perturbation — 최적 trajectory 등식 Perturbation — Optimal Equality DRAFT vc-passed

$$f(t_0, \hat x, \hat y) + \partial_t V + \partial_x V \cdot g(\hat x, \hat y) = 0$$

Intuition

최적 경로에서 (7.52) 등호.

3세 비유

최적에서 등호.

Genealogy

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Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

최적 경로에서 (7.52) 등호.

(7.54) Perturbation — y free max Perturbation y free Max DRAFT vc-passed

$$f(t_0, \hat x, \hat y) + \partial_t V + \partial_x V \cdot g(\hat x, \hat y) = \max_y \cdots$$

Intuition

max 형식.

3세 비유

max 표기.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

max 형식.

(7.55) ★ Costate ↔ V 연결 Costate ↔ V Connection DRAFT vc-passed

$$\lambda(t_0) = \partial_x V(t_0, \hat x(t_0))$$

Intuition

★ ★ **Pontryagin costate = HJB V 의 x 미분**. Pontryagin (Lagrangian) 과 HJB (DP) 의 동치성. 두 paradigm 의 정량 다리.

3세 비유

그림자 가격 = 가치 함수의 한계.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamilton-Jacobi PDE 정초.
Carl Gustav Jacobi (1837)	Vorlesungen über Dynamik	Hamilton-Jacobi 정형화.
Richard Bellman (1957)	Dynamic Programming	Bellman 1957 이 명시 인용. HJB 명명의 마지막 인물. P-mathphys-001 핵심 다리.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ **Pontryagin costate = HJB V 의 x 미분**. Pontryagin (Lagrangian) 과 HJB (DP) 의

(7.56) ★ Hamiltonian 무한지평 한계 Hamiltonian Infinite Limit DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} H(t, \hat x, \hat y, \lambda) = 0$$

Intuition

★ Hamiltonian 의 무한 한계 = 0. transversality 와 동치 형태.

3세 비유

Hamiltonian 무한 한계 = 0.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ Hamiltonian 의 무한 한계 = 0. transversality 와 동치 형태.

(7.57) Theorem 7.6 증명 setup Theorem 7.6 Proof Setup DRAFT vc-passed

$$\partial_t V(t, x) + \max_y H(t, x, y, V_x) = 0$$

Intuition

HJB Theorem 7.6 표준 형식.

3세 비유

표준 HJB.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

HJB Theorem 7.6 표준 형식.

§7.5할인 무한지평 OC
Discounted Infinite-Horizon OC21 eq

(7.58) Example 7.3 — 할인 무한지평 Example 7.3 Discounted Infinite DRAFT vc-passed

$$\int_0^{\infty} \exp(-\rho t)\, u(y(t))\, dt, \quad \dot x(t) = \cdots$$

Intuition

Example 7.3 setup — 할인 OC 응용.

3세 비유

예제 setup.

Genealogy

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거시 OC 표준

Civilizational Relevance

Example 7.3 setup — 할인 OC 응용.

(7.59) Example 7.3 — costate 정상 Example 7.3 Stationary Costate DRAFT vc-passed

$$\dot \lambda(t) = 0$$

Intuition

정상 costate (저장 가능 자원).

3세 비유

그림자 가격 일정.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

정상 costate (저장 가능 자원).

(7.60) Example 7.3 — 통제 풀이 Example 7.3 Control Solution DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = -u'^{-1}[\exp(\rho t)\, \lambda(0)]$$

Intuition

통제 closed-form 풀이.

3세 비유

최적 통제의 명시 해.

Genealogy

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Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

통제 closed-form 풀이.

(7.61) 할인 OC — 일반 setup Discounted OC General DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = g(t, x, y)$$

Intuition

(7.3) 동일 (재기술).

3세 비유

(7.3) 동일.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

(7.3) 동일 (재기술).

(7.62) 할인 OC — 종단 조건 Discounted OC Boundary DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} b(t) x(t) \geq x_1$$

Intuition

(7.34) 동일.

3세 비유

(7.34) 동일.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

(7.34) 동일.

(7.63) 할인 형태 — current vs present Discounted — Current vs Present DRAFT vc-passed

$$\text{(setup for current-value Hamiltonian)}$$

Intuition

current-value Hamiltonian 도입 setup.

3세 비유

current-value 변환 준비.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

current-value Hamiltonian 도입 setup.

(7.64) ★ ★ Current-Value Hamiltonian ★ Current-Value Hamiltonian DRAFT vc-passed

$$\hat H(t, x, y, \mu) \equiv f(x, y) + \mu(t)\, g(t, x, y)$$

Intuition

★ ★ Current-value Hamiltonian — 할인 인수 제거한 버전. $\mu(t) = \exp(\rho t) \lambda(t)$. 거시 OC 의 표준.

3세 비유

할인 효과 분리한 H.

Genealogy

인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamiltonian 정초. 물리·수학·경제 변분 원리의 공통 조상.
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초. 경제학 OC 의 표준.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ Current-value Hamiltonian — 할인 인수 제거한 버전. $\mu(t) = \exp(\rho t) \lambda(t)$

(7.65) ★ ★ Current-value MP — 통제 FOC Current-value MP — Control DRAFT vc-passed

$$\hat H_y(t, \hat x, \hat y, \mu) = 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}_+$$

Intuition

★ Current-value 통제 FOC.

3세 비유

current 통제 FOC.

Genealogy

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William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamiltonian 정초. 물리·수학·경제 변분 원리의 공통 조상.
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초. 경제학 OC 의 표준.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ Current-value 통제 FOC.

(7.66) ★ ★ Current-value MP — costate Current-value MP — Costate DRAFT vc-passed

$$\rho\, \mu(t) - \dot \mu(t) = \hat H_x(t, \hat x, \hat y, \mu) \quad \forall t \in \mathbb{R}_+$$

Intuition

★ ★ **current-value costate equation** — Acemoglu 의 표준 형식. $\rho \mu - \dot \mu = \hat H_x$.

3세 비유

current 그림자 가격 진화 + 시간선호.

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인물	저작	note
William Hamilton (1834)	On a General Method in Dynamics	Hamiltonian 정초. 물리·수학·경제 변분 원리의 공통 조상.
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	Maximum Principle 정초. 경제학 OC 의 표준.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ **current-value costate equation** — Acemoglu 의 표준 형식. $\rho \mu - \dot \mu

(7.68) ★ ★ Strong Transversality ★ Strong Transversality DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} \exp(-\rho t)\, \mu(t) \cdot \hat x(t) = 0$$

Intuition

★ strong (closed-form) transversality. canonical_equations 의 transversality 등록 사례.

3세 비유

할인된 그림자 가격×상태 → 0.

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Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ strong (closed-form) transversality. canonical_equations 의 transversality 등록 사

(7.69) ★ ★ Transversality — 강 형식 Transversality — Strong Form DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} \exp(-\rho t)\, \mu(t)\, \hat x(t) = 0$$

Intuition

★ (7.68) 의 정형. 무한지평 OC 의 boundary.

3세 비유

(7.68) 정형.

Genealogy

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Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ (7.68) 의 정형. 무한지평 OC 의 boundary.

(7.70) Transversality — Hamiltonian 형태 Transversality — Hamiltonian Form DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} \exp(-\rho t)\, f(\hat x, \hat y) = 0$$

Intuition

transversality Hamiltonian 형태.

3세 비유

할인된 즉시 보상 → 0.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

transversality Hamiltonian 형태.

(7.71) Transversality 연결 Transversality Connection DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} \exp(-\rho t)\, \mu(t)\, g(t, \hat x, \hat y) = \lim_{t \to \infty} \exp(-\rho t) \cdots$$

Intuition

transversality 의 등치 표현.

3세 비유

기술 단계.

Genealogy

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Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

transversality 의 등치 표현.

(7.72) FOC — current-value 통제 풀이 FOC — Current-value Control Solution DRAFT vc-passed

$$f_y(\hat x, \hat y) + \mu(t)\, g_y(t, \hat x, \hat y) = 0$$

Intuition

(7.65) 의 풀이형.

3세 비유

통제 풀이.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

(7.65) 의 풀이형.

(7.73) Sufficiency — concavity 결합 Sufficiency — Concavity DRAFT vc-passed

$$\text{(sufficiency proof step)}$$

Intuition

충분조건 증명 단계.

3세 비유

기술 단계.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

충분조건 증명 단계.

(7.74) 충분조건 — W 비교 Sufficiency W Comparison DRAFT vc-passed

$$W(x(t), y(t)) \leq W(\hat x, \hat y)$$

Intuition

최적성 부등식.

3세 비유

최적 ≥ 다른 경로.

Genealogy

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Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

최적성 부등식.

(7.75) Theorem 7.13 일반 결과 Theorem 7.13 General Result DRAFT vc-passed

$$\text{(Theorem 7.13 statement)}$$

Intuition

OC 의 일반 정리.

3세 비유

정리 표제.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

OC 의 일반 정리.

(7.76) Constraint 형식 일반화 Constraint General Form DRAFT vc-passed

$$\max_{x(t), y(t)} W(x, y) \equiv \int_0^{\infty} \cdots$$

Intuition

일반 OC max 문제.

3세 비유

OC 일반.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

일반 OC max 문제.

(7.77) Vector state 진화 Vector State Evolution DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = G(t, x(t), y(t))$$

Intuition

벡터 OC.

3세 비유

벡터 OC.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

벡터 OC.

(7.78) Vector — 종단 조건 Vector Boundary DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} x(t) \geq x_1$$

Intuition

벡터 종단.

3세 비유

벡터 종단.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

벡터 종단.

(7.79) 할인 OC 마무리 — example Discounted OC Example Setup DRAFT vc-passed

$$\int_0^{\infty} \exp(-\rho t)\, \cdots$$

Intuition

마무리 예제 setup.

3세 비유

예제 시작.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

마무리 예제 setup.

§7.6응용 — RCK + q-theory
Applications — RCK + q-theory12 eq

(7.80) ★ ★ RCK — OC 형식 ★ RCK — OC Form DRAFT vc-passed

$$\max_{[k(t), c(t)]} \int_0^{\infty} \exp(-\rho t)\, u(c(t))\, dt$$

Intuition

★ ★ ch05 (5.27) RCK 가 ch07 OC 도구로 풀림. **Pontryagin 원리 적용 시작**.

3세 비유

RCK 를 OC 로 풀이.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	RCK 의 first formulation.
David Cass (1965)	Optimum Growth in an Aggregative Model	Solow + Ramsey 통합.
Tjalling Koopmans (1965)	On the Concept of Optimal Economic Growth	RCK 명명의 마지막 인물.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ ch05 (5.27) RCK 가 ch07 OC 도구로 풀림. **Pontryagin 원리 적용 시작**.

(7.81) ★ ★ RCK — OC FOC (소비) RCK — OC Control FOC DRAFT vc-passed

$$\hat H_c(k, c, \mu) = u'(c(t)) - \mu(t) = 0$$

Intuition

★ RCK 의 current-value 통제 FOC. 한계 효용 = costate $\mu$.

3세 비유

한계 효용 = 그림자 가격.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	RCK 의 first formulation.
David Cass (1965)	Optimum Growth in an Aggregative Model	Solow + Ramsey 통합.
Tjalling Koopmans (1965)	On the Concept of Optimal Economic Growth	RCK 명명의 마지막 인물.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ RCK 의 current-value 통제 FOC. 한계 효용 = costate $\mu$.

(7.82) ★ ★ RCK — OC costate 진화 RCK — OC Costate Dynamic DRAFT vc-passed

$$\hat H_k(k, c, \mu) = \mu(t)[f'(k(t)) - \delta] = \rho\, \mu(t) - \dot \mu(t)$$

Intuition

★ ★ RCK costate 진화. **MGR 의 직접 prerequisite**. (7.66) 적용.

3세 비유

그림자 가격 진화 = (자본 수익 - 시간선호).

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	RCK 의 first formulation.
David Cass (1965)	Optimum Growth in an Aggregative Model	Solow + Ramsey 통합.
Tjalling Koopmans (1965)	On the Concept of Optimal Economic Growth	RCK 명명의 마지막 인물.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ RCK costate 진화. **MGR 의 직접 prerequisite**. (7.66) 적용.

(7.83) ★ ★ RCK — OC Transversality ★ RCK — OC Transversality DRAFT vc-passed

$$\lim_{t \to \infty} \exp(-\rho t)\, \mu(t)\, k(t) = 0$$

Intuition

★ RCK 의 강 transversality. (7.69) RCK 적용. 무한 자본 축적 회피.

3세 비유

무한 미래 자본 가치 → 0.

Genealogy

인물	저작	note
Frank Ramsey (1928)	A Mathematical Theory of Saving	RCK 의 first formulation.
David Cass (1965)	Optimum Growth in an Aggregative Model	Solow + Ramsey 통합.
Tjalling Koopmans (1965)	On the Concept of Optimal Economic Growth	RCK 명명의 마지막 인물.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ RCK 의 강 transversality. (7.69) RCK 적용. 무한 자본 축적 회피.

(7.84) 기업 가치 q 도입 Firm Value q Introduction DRAFT vc-passed

$$\text{(setup for q-theory of investment)}$$

Intuition

Tobin's q-theory 도입.

3세 비유

투자 q-이론.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

Tobin's q-theory 도입.

(7.85) ★ ★ q-theory Hamiltonian ★ q-theory Hamiltonian DRAFT vc-passed

$$\hat H(K, I, q) \equiv [f(K(t)) - I(t) - \varphi(I(t))] + q(t)[I(t) - \delta K(t)]$$

Intuition

★ ★ Tobin's q-theory of investment. $q$ = 자본의 그림자 가격. 투자 비용 + 조정 비용 $\varphi(I)$.

3세 비유

기업 가치 = 즉시 이익 + q × 자본 변화.

Genealogy

인물	저작	note
James Tobin (1969)	A General Equilibrium Approach to Monetary Theory	q-theory of investment 정초.
Fumio Hayashi (1982)	Tobin's Marginal q and Average q	q 의 한계 vs 평균 등치성 증명.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ Tobin's q-theory of investment. $q$ = 자본의 그림자 가격. 투자 비용 + 조정 비용 $\varphi(I)$

(7.86) ★ ★ q-theory FOC — 투자 한계 q-theory Investment FOC DRAFT vc-passed

$$q(t) = 1 + \varphi'(I(t))$$

Intuition

★ ★ **Tobin's q 정의의 정량 형태** — q = 한계 자본 가치 = 1 + 조정 비용 미분. q > 1 → 투자, q < 1 → 비투자.

3세 비유

q = 1 + 조정 비용 한계.

Genealogy

인물	저작	note
James Tobin (1969)	A General Equilibrium Approach to Monetary Theory	q-theory of investment 정초.
Fumio Hayashi (1982)	Tobin's Marginal q and Average q	q 의 한계 vs 평균 등치성 증명.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ **Tobin's q 정의의 정량 형태** — q = 한계 자본 가치 = 1 + 조정 비용 미분. q > 1 → 투자, q < 1 → 비

(7.87) ★ q-theory 시간 진화 q-theory Time Evolution DRAFT vc-passed

$$\dot q(t) = \varphi''(I(t))\, \dot I(t)$$

Intuition

q 시간 진화 = 조정 비용 2차 × 투자 변화.

3세 비유

q 변화 = 조정 비용 가속.

Genealogy

인물	저작	note
James Tobin (1969)	A General Equilibrium Approach to Monetary Theory	q-theory of investment 정초.
Fumio Hayashi (1982)	Tobin's Marginal q and Average q	q 의 한계 vs 평균 등치성 증명.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — q 시간 진화 = 조정 비용 2차 × 투자 변화.

(7.88) ★ ★ Investment Law of Motion ★ Investment Law of Motion DRAFT vc-passed

$$\dot I(t) = \frac{1}{\varphi''(I(t))}[(r + \delta)(1 + \varphi'(I)) - f'(K)]$$

Intuition

★ ★ q-theory 의 투자 동학. 균형 (자본 수익 = 자본 비용) 향한 진화.

3세 비유

투자 변화 → 자본 균형 향함.

Genealogy

인물	저작	note
James Tobin (1969)	A General Equilibrium Approach to Monetary Theory	q-theory of investment 정초.
Fumio Hayashi (1982)	Tobin's Marginal q and Average q	q 의 한계 vs 평균 등치성 증명.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ q-theory 의 투자 동학. 균형 (자본 수익 = 자본 비용) 향한 진화.

(7.89) Linear ODE — 투자 편차 Linear ODE — Investment Deviation DRAFT vc-passed

$$\dot x(t) = A\, x(t) + b$$

Intuition

투자 동학의 선형 근사.

3세 비유

선형 ODE.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

투자 동학의 선형 근사.

(7.90) 비선형 → 선형 근사 Nonlinear → Linear Approximation DRAFT vc-passed

$$\text{(linearization step around steady-state)}$$

Intuition

정상상태 주변 1차 선형화.

3세 비유

정상상태 근사.

Genealogy

인물	저작	note
Lev Pontryagin (1962)	Mathematical Theory of Optimal Processes	OC 일반.

Applications

거시 OC 표준

Civilizational Relevance

정상상태 주변 1차 선형화.

(7.91) ★ ★ V'(K) = q — 가치-가격 정합성 ★ V'(K) = q — Value-Price Coherence DRAFT vc-passed

$$V'(K(t)) = q(t)$$

Intuition

★ ★ **q-theory 의 정점**: 가치 함수 미분 = q. (7.55) Pontryagin-HJB 등치 의 q-theory 응용. 기업 시장 가치와 자본 한계 가치의 일치.

3세 비유

기업 한계 가치 = 시장 q.

Genealogy

인물	저작	note
James Tobin (1969)	A General Equilibrium Approach to Monetary Theory	q-theory of investment 정초.
Fumio Hayashi (1982)	Tobin's Marginal q and Average q	q 의 한계 vs 평균 등치성 증명.

Applications

Ramsey-Cass-Koopmans (ch08)
거시 OC 표준
강화학습 (continuous-time HJB)
금융 (자산 동학)
기후 정책 (DICE 모형)
최적 자본 축적

Civilizational Relevance

★ P-mathphys-001 다리 — ★ ★ **q-theory 의 정점**: 가치 함수 미분 = q. (7.55) Pontryagin-HJB 등치 의 q-theory 응용. 기업

Acemoglu ch07 — RICH 프리뷰: 최적제어 이론 입문