Acemoglu ch06 — RICH 프리뷰: 무한지평 최적화·동적계획

(6.1) Bellman 방정식이 최적 경로 $\{x^*(t)\}$ 에서 등호로 성립하는 형태. supremum 이 max 로 달성됨을 가정 — 즉 최적 sequence 가 존재. (6.1) 이 임의 $x \in X$ 에 대한 functional equation 이라면, (6.2) 는 그 functional equation 의 해 $V$ 가 최적 trajectory 따라 어떻게 진화하는지 명시.

Theorem 6.2 (Principle of Optimality) 의 핵심 결과. (6.2) 와 같은 형태지만 V* (sequence problem 의 supremum) 로 표현 — V (functional equation 의 해) 와의 일치를 보이는 단계. **Sequence problem (6.2) 와 functional equation (6.1) 의 해가 같다** = Bellman의 'Principle of Optimality' 의 정량 표현.

Theorem 6.6 (Envelope Theorem). 가치함수 $V(x)$ 의 $x$ 에 대한 미분 = 효용 $U(x, y)$ 의 $x$ 미분에 최적 정책 $y = \pi(x)$ 대입한 값. 핵심 직관: $y$ 는 $x$ 에 의존하지만, 최적 $y^*$ 에서 $\partial U/\partial y = 0$ (FOC) 이므로 envelope 효과로 $y$ 의존성 사라짐. → ch06 §6.6 (Euler equation) 도출의 핵심 도구.

Banach 수축 사상 정리(Theorem 6.7) 증명에서 핵심 단계. 수축률 β로 매 반복마다 거리가 β배씩 줄어듦 → Cauchy sequence 형성 → 유일 fixed point 존재. (6.1) Bellman 방정식 해의 유일 존재성 보장.

(6.5) 의 누적 형태. 두 수열 점 사이 거리가 등비급수 합으로 bounded → β<1 이면 m,n→∞ 에서 0 으로 수렴, Cauchy.

등비급수 합산해 깔끔한 상한 — n 만의 함수로 m 무관. β<1 이면 n→∞ 시 0 수렴 → Cauchy 정의 만족.

Theorem 6.7 (수축사상 정리) 적용을 위한 Blackwell 충분조건 검증 단계 — 연산자 T 가 monotone + discounting 만족 → contraction.

Blackwell 충분조건의 핵심 부등식. T 가 monotone + 'discounting by β' → contraction with modulus β. Bellman 식 해의 유일성 증명에 결정적.

Theorem 6.5 증명용 — 사용자가 정한 V* 정의 재기술. $\Phi(x(0))$ 는 $x(0)$ 에서 시작하는 가능 sequence 들, $\bar U$ 는 평생 효용.

(6.11) 직접 함의 — sup 의 정의에서 모든 가능 경로 효용 ≤ V*.

sup 근사 정의 — 임의 작은 ε 에 대해 그만큼 가까운 feasible sequence 존재.

Bellman 식의 약한 형태 (≥) — Theorem 6.4 증명 단계. y 선택해 한 기간 후 가치 (β로 깎인) 더한 값보다 V 가 ≥.

(6.14) 의 dual ≤ 형태. ε 근사로 V 의 상한 도출.

Theorem 6.2 (Principle of Optimality) 증명 종료 — 최적 sequence 의 tail 도 그 시점부터 sup 달성. 시간 일관성의 수학.

(6.16) 의 결과 — V* 의 tail 표현. Principle of Optimality 의 직접 정량화.

Theorem 6.4 (V 단조성) 증명 단계. 두 점 $x', x''$ 에서 T 적용 결과 비교 → V 단조 증가 도출.

Envelope Theorem (6.4) 의 형식 증명. V* = V 등치 + 미분 가능성 검증.

§6.6 응용 — V_k 의 sandwich (lower V^- + upper V^+) 로 V 수렴 증명. 수치 풀이의 토대.

(6.22) 의 단조 수렴 성질 — V_k^-, V_k^+ 모두 V 로 수렴.

§6.6.1 응용 setup — 미분 가능 U 가정 도입.

(6.25) 의 부분 미분 표기 — 단일 변수 일반화 가능.

(6.26) 의 부분 미분 표기.

(6.31) 의 부분 미분 표기.

Theorem 6.10 증명 단계 — transversality 위반 시 효용 strict 향상 가능 (perturbation argument). 모순 도출.

Theorem 6.10 증명 단계 — high-order term o(ε) 의 합이 ε→0 에서 사라짐. perturbation 의 1차 근사 정당화.

(6.34) 의 T 상한 명시.

Example 6.4 — CES 효용 + Cobb-Douglas 생산 모형 풀이. (6.29) Envelope 적용 결과.

Example 6.4 의 명시적 해. β·α 의 곱이 저축률 역할 — closed form 가능한 드문 경우.

Example 6.5 — 가구 자산 최적화의 FOC. 한계 효용 = 미래 가치 한계.

(6.39) Euler 방정식 결과 — 소비 성장률 부호가 이자율과 시간선호 비교로 결정.

(6.30) 의 비정상 (시간 의존) 형태. §6.7 Nonstationary DP 의 Euler.

§6.7 비정상 transversality 증명 단계.

(6.31) 의 비정상 (t-의존 U) 형태. Theorem 6.12.

§6.7.3 응용 setup.

§6.8 — ch05 (5.24, 5.25) RCK 문제의 재호출. ch06 의 DP 도구로 풀이 진입.

(5.25) 와 동일. RCK 의 자본 축적 제약.

Theorem 6.13 (V 의 strict concavity) 증명 단계.

RCK 의 분권화 균형 정의 — 가구·기업 의사결정 + 시장 청산.

(5.26) RCK 가구 문제 + 임금이 한계 노동 산출 도출. 시장 균형에서 임금·이자율 = 한계 산출.

분권화 균형의 Euler. social planner Euler (6.50) 와 등치 — Second Welfare Theorem 직접 응용.