Acemoglu ch05 — RICH 프리뷰: 신고전 성장의 기초

가구 h가 시점 0부터 T까지의 소비 경로 $(c^h(1), \dots, c^h(T))$ 에 대해 매 시점의 순간 효용 $u^h(c^h(t))$ 를 가구별 할인계수 $\beta^h$ 로 할인한 합. 이것이 ch05의 출발 — '평생 효용을 한 숫자로 표현'하는 가장 표준적 형태. 시간 분리(time-separable) + 정상성(stationary) 가정이 식 형태에 이미 박혀 있음.

(5.1) 의 무한지평·동질 가구 버전. 모든 가구가 같은 할인계수 $\beta$, 같은 순간 효용 $u(\cdot)$, 같은 소비경로 $c(t)$ 를 가진다고 가정 → 가구 간 합산이 의미 있고, 정규(normative) 대표가구의 평생 효용이 됨. ch05·ch06·ch07 거의 모든 동적 최적화 문제의 목적함수 출발.

Gorman의 집계 정리 (Theorem 5.2). 가구별 간접효용 $v^h(p, w^h)$ 가 가격 함수 $a^h(p)$ + **가구 무관** 가격 함수 $b(p)$ 와 가구 소득 $w^h$ 의 곱이라는 형태로 표현되면, **가구 합이 대표가구로 환원** 가능. 즉 분배에 무관한 aggregate demand 가 가능 → 거시경제학에서 '대표 가구' 가정이 정당화되는 수학적 핵심 조건.

Example 5.1 의 CES (Constant Elasticity of Substitution) 선호. 가구 $h$ 가 $N$ 개 재화에서 $\xi_j^h$ 만큼은 '필수 소비량(subsistence)' 으로 미리 빼고, 나머지 $x_j^h - \xi_j^h$ 의 CES 집계를 효용으로 봄. $\sigma > 0$ 은 재화 간 대체탄력성. $\sigma \to 1$: Cobb-Douglas, $\sigma \to \infty$: 선형, $\sigma \to 0$: Leontief. Acemoglu 가 (5.3) Gorman 형식을 만족하는 표준 사례로 제시.

(5.4) CES 직접효용에서 예산제약 $\sum p_j x_j^h = w^h$ 하에 효용 극대화로 도출된 간접효용. 분자는 '필수 소비 비용 차감 후 잔여 소득' $w^h - \sum p_j \xi_j^h$, 분모는 가격 지수 $[\sum p_j^{1-\sigma}]^{1/(1-\sigma)}$ — Dixit-Stiglitz 가격 지수. **(5.5) 가 (5.3) Gorman 형식을 만족함**: $a^h(p) = -\sum p_j \xi_j^h / [\cdots]^{1/(1-\sigma)}$ (가구별), $b(p) = 1/[\cdots]^{1/(1-\sigma)}$ (가구 무관). → 대표가구 집계 가능.

(5.4) 가구별 CES 효용을 Gorman 정리 (Theorem 5.2) 를 통해 집계한 결과. 형태는 (5.4) 와 동일하지만 변수가 가구별 $x_j^h, \xi_j^h$ 가 아니라 **집계된** $x_j = \int x_j^h dh$, $\xi_j = \int \xi_j^h dh$. 즉 거시 수준에서 '평균 가구가 CES 효용으로 결정한다' 는 정당화된 모형. ch13 (variety) · ch14 (Schumpeter) 의 사용자 효용 출발점.

Theorem 5.3 (Existence of a Normative Representative Household) 의 증명에 등장하는 핵심 식. 가구별 Pareto weight $\alpha^h$ 로 가중된 간접효용의 합을 최대화. (5.3) Gorman 형식이 만족되면 좌변 (가구별 효용 합) = 우변 (Gorman 형식 분해 합) 이므로 Pareto 최적 배분이 정의 가능. 각 가구의 효용 함수가 Gorman 폴라 형식이면 임의의 Pareto weights 에 대해 같은 가격 $p^*$ 가 최적이 된다는 결과의 출발.

(5.7) 에서 가구별 소득 분포 $\{w^h\}$ 가 사라지고 합 $w$ 만 남은 단순화된 max 문제. Gorman 폴라 형식의 핵심 결과 — **분배는 무관**, 합산만 중요. 즉 Pareto weight $\alpha^h$ 가 단순히 $\sum_h \alpha^h = 1$ 정규화됐을 때 (5.8) 의 해는 Pareto weights 와 무관한 가격 $p^*$ 로 수렴. 이게 '대표 가구' 가 의미를 갖는 기술적 핵심.

Theorem 5.3 증명의 modus tollens 단계. 만약 (5.8) 의 해 $(p^*, w^*)$ 와 (5.7) 의 가설된 해 $(p^{**}_α, w^{**}_α)$ 가 다르다면, max Pareto weight $\alpha^M = \max_h \alpha^h$ 외의 가구는 소득 0 이 되는 corner solution 이 발생. 그러나 모든 가구가 모든 재화에 양의 수요를 갖는다는 가정 위배 → 모순. 즉 (5.7)=(5.8) 임이 증명됨.

Theorem 5.3 증명에서 (5.8) 의 해가 (5.7) 가설해보다 strict 우위임을 보이는 부등식. 좌변: (5.8) 의 max 값, 우변: 가설 (5.7) 의 해 값. (5.8) 이 더 많은 자유도를 가지므로 (=가구별 weight 무관 형태) 항상 ≥ 이고, 가설이 동일해 아니면 strict >. 두 번째 부등식은 $a^h$ 항이 같으므로 $b(p) w$ 만 비교한 결과.

Theorem 5.3 증명의 마지막 단계. (5.7) 가설해 $(p^{**}_\alpha, w^{**}_\alpha)$ 가 정말 (5.7) 의 해라면 가중 효용합이 (5.8) 의 해보다 ≥ 여야 함 (가중치 적용). 그러나 (5.10) 에서 $b(p^*)w^* > b(p^{**}_\alpha)w^{**}_\alpha$ 이고 max weight 가구만 $w^h$ 갖는다는 가정과 결합하면 (5.11) 우변이 좌변보다 더 커야 함 → 모순. 따라서 가설 (5.7)≠(5.8) 거짓 → (5.7)=(5.8). Theorem 5.3 증명 완료.

무한지평 효용 (5.2) 의 가장 우아한 microfoundation. 개인이 매 시점 일정 확률 $\nu$ 로 사망한다고 가정하면, 시점 $t$ 까지 생존확률 $(1-\nu)^t$ × 시간 할인 $\hat\beta^t$ → 유효 할인계수 $\beta = \hat\beta(1-\nu)$. 즉 **유한 수명 + 사망 위험** 이 **무한 지평 + 효과적 할인** 으로 환원. Yaari (1965) 의 'perpetual youth' 모형 — 모든 시점에서 미래에 대한 인지가 동일 (memoryless).

Theorem 5.4 (Representative Firm Theorem) 의 핵심 정의. 경제 전체의 집계 생산가능집합 $Y$ 는 개별 기업 $f$ 의 생산가능집합 $Y^f$ 합 (Minkowski sum). **분권화된 다수 기업이 동일 집계 결과를 내는 단일 대표 기업으로 환원** 가능 — Gorman 가구 정리 (5.3) 의 기업 측 대응. 거시 모형이 단일 'aggregate production function' 을 사용하는 정당성.

Theorem 5.4 (Representative Firm Theorem) 증명의 'only if' 방향. 대표 기업의 이윤 극대화 net supply $\hat y$ 의 이윤이 개별 기업 합 $\sum_f \hat y^f$ 의 이윤보다 ≥ 임을 보이는 부등식. (5.13) 정의로 $\hat y \in Y = \{\sum y^f\}$ 이므로 자동 성립. 마지막 부등식 같음 (=) 을 도출하면 두 표현이 동치.

§5.5 Problem Formulation 의 이산시간 표준 목적함수. (5.2) 와 형식 동일. 본 절은 Welfare Theorems / Optimal Growth 문제의 정식 출발 — '대표가구가 최대화하는 효용함수' 로 (5.15) 를 명시. ch06 (Infinite-Horizon Optimization) · ch07 (Optimal Control) 의 직접 prerequisite.

(5.15) 의 연속시간 버전. 이산 할인 $\beta^t$ 가 연속 할인 $\exp(-\rho t)$ 로 대체. $\rho > 0$ 은 시간 선호율 (rate of time preference). 본문에서 이산↔연속 등가 도출: $\beta = \exp(-\rho \Delta t)$ with $\Delta t \to 0$. ch07 (Optimal Control) · 모든 연속시간 거시 모형의 표준 목적함수.

Theorem 5.5 (First Welfare Theorem) 증명의 첫 단계. 경쟁균형 $(\mathbf{x}^*, \mathbf{y}^*, p^*)$ 와 다른 어떤 feasible 배분 $\tilde{\mathbf{x}}$ 가 모든 가구에게 weakly preferred 라고 가정 → 모순 도출. 가구 h 의 새 배분 $\tilde x^h$ 는 균형 가격 $p^*$ 에서 적어도 균형 배분 $x^{h*}$ 만큼 비싸야 함 (utility-max 가 budget 만족). 등호의 우변은 가구 h 의 endowment $\omega^h$ + 기업별 profit share $\theta^h_f$ 의 합.

(5.17) 의 강화 버전. 가설에서 일부 가구가 새 배분을 strict preferred ($U^h(\tilde x^h) > U^h(x^{h*})$) → utility-max 가 균형 배분이었다는 가정과 결합하면 새 배분은 budget 내에 들어올 수 없음 (= 더 비싸야 함) → strict 부등식 $>$ 발생. Local nonsatiation 가정이 핵심 — 약한 우위 (≥) 가구도 strict 우위를 만들 수 있어야 함.

(5.17), (5.18) 의 가구합산 결과. 모든 가구의 weak 부등식 + 적어도 한 가구의 strict 부등식 → 합산 시 strict 부등식. 마지막 등호는 share total 조건 $\sum_h \theta^h_f = 1$ 적용. 즉 가설된 새 배분 $\tilde{\mathbf{x}}$ 의 총비용이 endowment + 총 profit 보다 strict 큼 → feasibility 위반 직전 단계.

Theorem 5.5 증명 마무리. 균형 production plan $\{y^{f*}\}$ 가 이윤 극대화 했으므로 임의의 다른 plan $\{y^f\}$ 의 총가치보다 ≥. 가설된 새 배분 $\tilde{\mathbf{x}}$ 의 production plan $\tilde{\mathbf{y}}$ 도 feasibility 조건 만족하므로 (5.19) + (5.20) 결합하면: 새 배분 비용 > endowment + production 가치 → feasibility 위반 → 모순 → Pareto 우위 배분 없음 ∎. **First Welfare Theorem 완성**: 경쟁균형은 Pareto 최적.

Theorem 5.7 (Second Welfare Theorem) 증명의 핵심 부등식 — Geometric Hahn-Banach Theorem (Theorem A.27) 적용 결과. $P^h = \{x^h : U^h(x^h) > U^h(x^{h*})\}$ (가구 h가 균형보다 strict 선호하는 배분 집합), $P = \sum_h P^h$, $Y'$ = production set with endowment shift. $P$ 와 $Y'$ 가 disjoint convex sets 이므로 separating hyperplane $\phi$ 존재 → (5.21). 이 $\phi$ 가 곧 균형 가격 $p^*$.

Theorem 5.7 증명에서 무한차원 commodity space 처리 단계. 유한 truncation $x[T]$ 에 적용한 linear functional $\phi$ 를 $T \to \infty$ 극한으로 무한 sequence $x$ 에 확장. $\bar\phi$ 가 무한 sequence 에 대한 inner product 형식 $\sum_t p_t \cdot x_t$ 로 표현됨을 보장. 즉 균형 가격 $p^*$ 가 무한지평에서도 잘 정의됨.

Theorem 5.8 (Sequential Trading Equivalence) 의 핵심 — Arrow-Debreu 일회 거래 모형이 매 시점 sequential trading + Arrow securities (1기간 채권) 모형으로 등가 분해. (5.23) 는 시점 t 에서의 가구 예산제약: 좌변 (총소비 비용) ≤ 우변 (총 endowment 가치 + 채권 보유 $b^h_t$). 채권 $b^h_t$ 는 t-1 에서 t 로 자산 이전 메커니즘. 이 등가성이 ch08 이후 모든 거시 모형이 sequential 형태로 풀리는 정당화 근거.

(5.24) 최적 성장 문제의 자원 제약. 다음 기 자본 = 이번 기 산출 $f(k)$ + 잔존 자본 $(1-\delta)k$ - 소비 $c$. **Solow (2.39) 자본 축적과 동일** but 1인당 단위 + 인구·기술 증가 없음. (5.24) max + (5.25) 제약 = Ramsey-Cass-Koopmans 이산시간 정식 문제. 본 식은 ch02 Solow 와 본 ch05 동적 최적화의 직접 다리.

(5.24)+(5.25) 의 **분권화 형태** — social planner 가 아닌 가구가 시장 가격 (이자율 $r$, 임금 $w$) 받고 자산 $a$ 와 소비 $c$ 결정. 자산 동학: 다음 기 자산 = 이번 기 자산 × (1+이자) - 소비 + 임금. Second Welfare Theorem (5.7) 에 의해 (5.24) social planner 해 = (5.26) 분권화 해 (Pareto weights 일치 시). 즉 본 식이 신고전 성장 모형의 가구 부분 최적화 문제.

(5.27) 연속시간 최적 성장 문제의 자원 제약. (5.25) 의 연속 한계 — 자본 변화율 = 산출 - 소비 - 감가상각. 이산 차분 $k(t+1) - k(t)$ 가 미분 $\dot k(t)$ 로 대체. **Solow ODE 와 정확히 같은 형태** ((2.51) 1인당 단위에서). (5.27)+(5.28) 결합 = 거시경제학 동적 최적화의 가장 표준적 연속 문제. ch07 Pontryagin 원리 직접 적용 대상.