Carl Friedrich Gauss · Lipsiae, 1801
Disquisitiones Arithmeticae
정수론 연구 — 근대 정수론의 기초를 놓은 불후의 명저
가우스가 24세에 완성한 이 저작은 페르마·오일러·라그랑주·르장드르의 업적을 통합하고, 합동(congruence)의 언어로 정수론을 새롭게 서술했다. 이차 상호 법칙의 최초 완전 증명과 이차 형식의 분류 이론은 현대 대수적 정수론·암호학·양자 알고리즘의 토대가 된다. 아래 수식을 클릭하면 오른쪽 패널에 상세 해설이 나타납니다.
Disquisitiones가 통합한 선학(先學)들 — 시간 순서
1640
Pierre de Fermat
1601–1665
Observations sur Diophante (1670, 사후 출판) · 편지들 (1640년대)
페르마 소정리, 이차 형식 이론, 이차 상호 법칙의 관찰
Observations sur Diophante (1670, 사후 출판) · 편지들 (1640년대)
페르마 소정리, 이차 형식 이론, 이차 상호 법칙의 관찰
1736–1770
Leonhard Euler
1707–1783
Theoriae numerorum (1748) · Disquisitio de formis (1773)
오일러 기준, 원시근의 존재, 이차 상호 법칙 부분 증명, 합동 기호 초안
Theoriae numerorum (1748) · Disquisitio de formis (1773)
오일러 기준, 원시근의 존재, 이차 상호 법칙 부분 증명, 합동 기호 초안
1770
Joseph-Louis Lagrange
1736–1813
Recherches d'Arithmétique (1773–1775)
이차 형식의 분류 이론, 판별식 개념, 이차 합동 방정식의 해
Recherches d'Arithmétique (1773–1775)
이차 형식의 분류 이론, 판별식 개념, 이차 합동 방정식의 해
1770
John Wilson
1741–1793
Waring, Meditationes Algebraicae (1770, 윌슨 정리 포함)
윌슨 정리 관찰 (증명은 라그랑주가 함)
Waring, Meditationes Algebraicae (1770, 윌슨 정리 포함)
윌슨 정리 관찰 (증명은 라그랑주가 함)
1798
Adrien-Marie Legendre
1752–1833
Essai sur la Théorie des Nombres (1798)
르장드르 기호 도입, 이차 상호 법칙 최초 서술 (증명 불완전)
Essai sur la Théorie des Nombres (1798)
르장드르 기호 도입, 이차 상호 법칙 최초 서술 (증명 불완전)
↓ 1801
Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
Disquisitiones Arithmeticae
위 모든 업적을 합동(≡) 기호로 통합 · 이차 상호 법칙 최초 완전 증명 · 이차 형식 완전 분류
Section I
합동론 (Congruences)
가우스가 이 책에서 최초로 체계화한 "합동(≡)" 개념은 현대 수학의 언어를 바꿨다. 두 정수가 어떤 수로 나눴을 때 같은 나머지를 가지면 합동이라 한다. 이 단순한 정의가 암호학·컴퓨터 과학·오류 정정 이론의 핵심이다.
정의 1 · 합동의 정의 (Definition of Congruence)
정리 2 · 합동의 대수적 성질 (Algebraic Properties)
Section III
거듭제곱의 잉여 (Power Residues)
소수 p에 대해 {1, 2, …, p−1}이 곱셈에 관해 순환군을 이루며, 원시근(primitive root)이 생성원이 된다. 페르마 소정리·윌슨 정리·원시근의 존재 정리가 여기서 체계적으로 증명된다.
정리 3 · 페르마 소정리 (Fermat's Little Theorem)
정리 4 · 윌슨 정리 (Wilson's Theorem)
정리 5 · 원시근의 존재 (Existence of Primitive Root)
Section IV
이차 합동 · 이차 상호 법칙
가우스가 "황금 정리(Aureum theorema)"라 부른 이차 상호 법칙의 최초 완전 증명을 담는다. 오일러 기준과 르장드르 기호를 정비하고, 8가지 다른 방식의 증명 중 첫 번째를 제시했다.
정의 6 · 르장드르 기호 (Legendre Symbol)
정리 7 · 오일러 기준 (Euler's Criterion)
★ 정리 8 · 이차 상호 법칙 (Law of Quadratic Reciprocity)
Section V – VII
이차 형식 · 가우스 합
이차 형식 ax²+bxy+cy²의 분류 이론은 현대 대수적 정수론의 직접적 전조다. 가우스 합은 정수론과 복소 해석학을 잇는 혁신적 도구로, 이차 상호 법칙 증명의 핵심이다.
정의 9 · 가우스 합 (Gauss Sum)
정의 10 · 이차 형식과 판별식 (Quadratic Form & Discriminant)